Punkt libracyjny

Trzy punkty Lagrange’a (L₁, L₂, L₃) leżące na linii przebiegającej przez dwa oddziałujące ciała zostały odkryte przez szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera około 1750 roku, na około dziesięć lat przed odkryciem pozostałych dwóch przez urodzonego we Włoszech Josepha Lagrange’a^[2].

W 1772 roku Lagrange opublikował „Esej o problemie trzech ciał ”. W pierwszym rozdziale rozważał ogólny problem trzech ciał. Na tej podstawie w drugim rozdziale zademonstrował dwa szczególne rozwiązania o stałym wzorze, dla dowolnych trzech mas o orbitach kołowych^[2].

Dla każdego układu trzech ciał (dwa ciała główne i ciało próbne) występuje pięć takich punktów, oznaczanych na ogół od L₁ do L₅. Punkty L₁–L₃ znajdują się na linii przechodzącej przez ciała układu i są one niestabilne. Punkty L₄ i L₅ tworzą wraz z dwoma większymi ciałami trójkąt równoboczny i są liniowo stabilne, a dla niektórych stosunków niestabilne. Stabilność w tym przypadku oznacza, że jeżeli ciało będzie miało parametry ruchu niewiele różniące się od parametrów punktu, to pozostanie w okolicy tego punktu dowolnie długo. Niestabilność oznacza, że ciało takie oddali się od punktu libracyjnego.

W układzie Słońce–Ziemia ciało może pozostawać w spoczynku w układzie odniesienia, w którym Słońce i Ziemia spoczywają. W punktach tych następuje zrównoważenie sił grawitacji i bezwładności oddziałujących na ciało w układzie odniesienia związanym z tym ciałem.

W pobliżu punktów L₄ i L₅ układu Słońce–Jowisz krążą dwie grupy planetoid trojańskich.

Dwa ciała o masie ${\displaystyle M_{1}}$  i ${\displaystyle M_{2}}$  powiązane siłami grawitacji, krążąc po orbitach kołowych, poruszają się po okręgach, których środkiem jest środek masy układu. Odległość między środkami tych ciał oznaczmy jako ${\displaystyle d.}$ 

Prędkość kątową obrotu ${\displaystyle \omega }$  określa wtedy wzór:

${\displaystyle \omega ^{2}=G{\frac {M_{1}+M_{2}}{d^{3}}},}$ 

gdzie ${\displaystyle G}$  oznacza stałą grawitacji.

Środek masy (obrotu) znajduje się w odległości z od ciała o ${\displaystyle M_{1}{:}}$ 

${\displaystyle z=d{\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}.}$ 

Układ obracających się ciał może być przyjęty za układ odniesienia dla trzeciego ciała o masie ${\displaystyle m.}$  Na ciało znajdujące się w odległości ${\displaystyle x}$  od ciała ${\displaystyle M_{1}}$  działają siły ciał ${\displaystyle M_{1},}$  ${\displaystyle M_{2}}$  i siła bezwładności. Dla punktu znajdującego się między ciałami układu (L₁) siły działające na to ciało równoważą się, gdy:

${\displaystyle {\frac {GM_{2}m}{(d-x)^{2}}}+m\omega ^{2}(x-d{\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}})-{\frac {GM_{1}m}{x^{2}}}=0,}$ 

co odpowiada:

${\displaystyle {\frac {M_{2}}{(d-x)^{2}}}+{\frac {M_{1}+M_{2}}{d^{3}}}(x-d{\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}})-{\frac {M_{1}}{x^{2}}}=0.}$ 

Dla punktów L₂ i L₃ równanie zawiera takie same składniki, ale ze względu na zmianę zwrotów sił należy zmienić odpowiednio znaki dodawania i odejmowania.

Rozwiązanie analityczne równania nie jest możliwe. Przyjmując, że ciała układu znacznie różnią się masą (M₂<<M₁), punkty L₁ i L₂ są oddalone od ciała o mniejszej masie o^[3]:

${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}.}$ 

Położenie punktów L₁ i L₂ w układzie:

• Słońce–Ziemia: 1 500 000 km od Ziemi,
• Ziemia–Księżyc: 60 000 km od Księżyca^[4].

Punkt L₃ znajduje się za ciałem o większej masie w odległości od niego nieco większej niż odległość ciała okrążającego ciało M₁:

${\displaystyle r\approx R\left(1+{\frac {5}{12}}{\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right).}$ 

W układzie, w którym pierwsza współrzędna określona jest przez linię przechodzącą przez oba ciała, a druga jest do niej prostopadła, położenie punktu L₄ określają wzory^[3]:

${\displaystyle x={\frac {R}{2}}{\frac {M_{1}-M_{2}}{M_{1}+M_{2}}},}$ 

${\displaystyle y={\sqrt {3}}{\frac {R}{2}}.}$ 

Jeżeli masa M₂ jest dużo mniejsza od M₁, to punkt ten jest położony w niemal takiej samej odległości od ciała centralnego jak ciało okrążające i wyprzedza je na orbicie o kąt 60°.

Punkt L₅ jest lustrzanym odbiciem punktu L₄ względem prostej łączącej ciała.

 

Punkty libracyjne są wykorzystywane jako szczególnie dogodne lokalizacje instalacji kosmicznych.

Punkt L₁ może być cenną lokalizacją dla stacji kosmicznej z uwagi na położenie pomiędzy Ziemią a Księżycem. Punkt L₂ jest dobrym miejscem do umieszczenia radioteleskopu, ponieważ Księżyc chroni go przed zakłóceniami radiowymi z Ziemi.

Punkt L₁ znajduje się blisko Ziemi i jest ciągle oświetlany przez Słońce. Czyni go to użytecznym do prowadzenia obserwacji Słońca lub do pozyskiwania energii słonecznej. Na orbicie w pobliżu tego punktu zostało umieszczone obserwatorium SOHO. Punkt L₂ znajduje się stale w półcieniu Ziemi, co czyni go dobrym miejscem do prowadzenia obserwacji planet zewnętrznych lub obszaru poza Układem Słonecznym. Na orbitach w pobliżu tego punktu umieszczono m.in. Kosmiczne Obserwatorium Herschela, Kosmiczny Teleskop Jamesa Webba i satelitę Planck.

 

widok ze Słońca

 

widok z równika niebieskiego

 

widok z bieguna niebieskiego

Animacja trajektorii Kosmicznego Teleskopu Jamesa Webba.

W drugiej połowie 2009 w pobliżu punktów L₄ i L₅ przeleciały sondy STEREO, których głównym zadaniem jest jednoczesne wykonywanie zdjęć z dwóch miejsc, umożliwiające tworzenie zdjęć stereoskopowych (3D)^[5].

W przypadku kolonizacji Marsa bezpośrednia łączność może zostać zablokowana na około 2 tygodnie w ciągu każdego okresu synodycznego, na czas trwania koniunkcji, gdy Słońce znajduje się pomiędzy Marsem a Ziemią^[6]. Satelita komunikacyjny znajdujący się w punkcie L₄ lub L₅ może służyć jako pośrednik w takiej sytuacji.

• księżyce Kordylewskiego
• libracja
• powierzchnia Roche’a
• strefa Hilla
• trojańczycy

• Wyznaczenie położenia punktów
•   Fabio Pacucci, Lagrange points: Park your spacecraft here (ang.), kanał TED-Ed na YouTube, 10 sierpnia 2023 [dostęp 2024-08-30].