Ortogonalność

Elementy ${\displaystyle x}$  i ${\displaystyle y}$  przestrzeni unitarnej ${\displaystyle X}$  z iloczynem skalarnym ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$  nazywa się ortogonalnymi, gdy

${\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}$ 

Relację ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$  zapisuje się symbolicznie ${\displaystyle x\perp y.}$  Podzbiór ${\displaystyle A}$  przestrzeni unitarnej ${\displaystyle X}$  nazywa się układem ortogonalnym, gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.

Długość wektora ${\displaystyle a=[a_{x},a_{y},a_{z}]}$  w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wyraża się wzorem

${\displaystyle |a|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}.}$ 

Jeżeli ${\displaystyle a=[a_{x},a_{y},a_{z}]}$  i ${\displaystyle b=[b_{x},b_{y},b_{z}]}$  są wektorami z przestrzeni trójwymiarowej, to długość wektora ${\displaystyle c=b-a}$  wynosi

${\displaystyle |c|=|b-a|={\sqrt {(b_{x}-a_{x})^{2}+(b_{y}-a_{y})^{2}+(b_{z}-a_{z})^{2}}}.}$ 

Liczby ${\displaystyle |a|,|b|,|c|}$  są długościami boków trójkąta ${\displaystyle oab,}$  gdzie ${\displaystyle o=(0,0,0).}$ 

 

Wektory ${\displaystyle a,b}$  są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt ${\displaystyle oab}$  jest prostokątny, a to jest równoważne na mocy prostego i odwrotnego twierdzenia Pitagorasa zależności:

${\displaystyle |c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2},}$ 

tzn.

${\displaystyle (b_{x}-a_{x})^{2}+(b_{y}-a_{y})^{2}+(b_{z}-a_{z})^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}+b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}.}$ 

Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy do powyższej równości implikuje równość

${\displaystyle -2a_{x}b_{x}-2a_{y}b_{y}-2a_{z}b_{z}=0,}$ 

która upraszcza się do wyrażenia

${\displaystyle a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}=0.}$ 

Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na iloczyn skalarny wektorów ${\displaystyle a}$  i ${\displaystyle b}$  w przestrzeni trójwymiarowej.

Przestrzenie euklidesowe

Wektory ${\displaystyle [-1,3]}$  i ${\displaystyle [3,1]}$  na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ

${\displaystyle [-1,3]\cdot {\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}}=-1\cdot 3+3\cdot 1=0.}$ 

Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.

Przestrzenie funkcyjne

Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, w których określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest przestrzeń ${\displaystyle L^{2}[a,b]}$ , tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale ${\displaystyle [a,b]}$  o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów ${\displaystyle f}$  i ${\displaystyle g}$  tej przestrzeni definiuje się wzorem

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \limits _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\mathrm {d} t.}$ 

W przypadku, gdy ${\displaystyle [a,b]=[-\pi ,\pi ],}$  to rodzina funkcji

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin nx}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos nx}{\sqrt {\pi }}}:n\in \mathbb {N} \right\}}$ 

jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre’a czy wielomiany Czebyszewa.

• macierz ortogonalna