Obserwabla

Aktowi pomiaru wykonanemu na układzie kwantowym odpowiada w formalizmie mechaniki kwantowej zadziałanie operatorem (obserwablą) na wektor stanu ${\displaystyle |\psi \rangle ,}$  przypisany temu układowi (przy czym postać wektora ${\displaystyle |\psi \rangle }$  zależy od stanu układu i jego rodzaju). W wyniku otrzymuje się zbiór wartości własnych i funkcji własnych tego operatora. Wartości własne tworzą zbiór możliwych wartości, jakie można uzyskać w realnym pomiarze. Wektorom własnym odpowiadają stany, jakie układ może przyjąć po pomiarze. Aby dany operator ${\displaystyle {\hat {A}}}$  był obserwablą, jego wektory własne muszą tworzyć bazę przestrzeni Hilberta – wtedy każdy wektor stanu przestrzeni Hilberta można rozłożyć w tej bazie. Np. jeżeli ${\displaystyle |a\rangle }$  są wektorami własnymi operatora ${\displaystyle {\hat {A}},}$  to

${\displaystyle {\hat {A}}|a\rangle =a|a\rangle }$ 

gdzie ${\displaystyle a}$  – wartość własna, odpowiadająca wektorowi własnemu ${\displaystyle |a\rangle .}$ 

Gdy wektory własne operatora tworzą zbiór ciągły (tzw. widmo ciągłe), to można rozłożyć wektor stanu ${\displaystyle |\psi \rangle }$  w bazie wektorów ${\displaystyle |a\rangle }$  następująco:

${\displaystyle |\psi \rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} a\,|a\rangle \langle a|\psi \rangle }$ 

Wtedy gęstość prawdopodobieństwa otrzymania w pomiarze wartości własnej ${\displaystyle a}$  jest równa

${\displaystyle \rho =|\langle a|\psi \rangle |^{2}}$ 

Np. operatory pomiaru położenia cząstki swobodnej czy pomiaru jej pędu mają widmo ciągłe.

Gdy wektory własne ${\displaystyle |a_{i}\rangle }$  operatora tworzą zbiór dyskretny (tzw. widmo dyskretne), to można rozłożyć wektor stanu ${\displaystyle |\psi \rangle }$  w bazie wektorów ${\displaystyle |a\rangle }$  następująco:

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum \limits _{i}\,|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle }$ 

Prawdopodobieństwo otrzymania w pomiarze wartości własnej ${\displaystyle a_{i}}$  jest równe ${\displaystyle P_{i}=|\langle a_{i}|\psi \rangle |^{2}.}$ 

Operator hermitowski o wartościach własnych tworzących zbiór dyskretny można przedstawić w postaci macierzy hermitowskiej.

Np. operatorowi pomiaru spinu cząstki w kierunku ${\displaystyle x}$  (prostopadłym do kierunku zewnętrznego pola magnetycznego) odpowiada macierz

${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$ 

Operatorowi pomiaru energii całkowitej cząstki (operatorowi Hamiltona), momentu pędu odpowiadają także macierze hermitowskie.

Wartość średnią operatora ${\displaystyle {\hat {A}}}$  w unormowanym stanie kwantowym ${\displaystyle |\psi \rangle ,}$  opisywanym przez funkcję falową ${\displaystyle \psi (x),}$  oblicza się następująco

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle =\int _{R^{3}}\mathrm {d} ^{3}x\psi ^{*}(x){\hat {A}}\psi (x)}$ 

Natomiast wartość obserwabli w danym stanie własnym ${\displaystyle |a\rangle }$  wyznacza się, rozwiązując zagadnienie własne:

${\displaystyle {\hat {A|}}a\rangle =a|a\rangle }$ 

gdzie ${\displaystyle a}$  jest wartością własną operatora ${\displaystyle {\hat {A}}.}$  Dla obserwabli jest to liczba rzeczywista.

Wartości własne mogą być zdegenerowane, tzn. jednej wartości własnej odpowiada kilka liniowo niezależnych wektorów własnych.

Dla operatorów o widmie dyskretnym zamiast całki mamy sumę.

Istotna różnica między mechaniką klasyczną a kwantową leży w stwierdzeniu, iż niektóre wielkości fizyczne nie mogą być mierzone jednocześnie. Wielkościom tym w mechanice kwantowej odpowiadają operatory, które nie komutują ze sobą, tzn. ich komutator jest różny od zera,

${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}\neq 0}$ 

Np. komutator operatorów pomiaru położenia cząstki i jej pędu w tym samym kierunku wynosi

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=\mathrm {i} \hbar }$ 

co oznacza, że nie da się jednocześnie zmierzyć precyzyjnie położenia i pędu cząstki. Wynik ten stanowi podstawę zasady nieoznaczoności Heisenberga.

• operator całkowitej energii (operator Hamiltona)
• operator momentu pędu
• operator pędu
• operator położenia
• operator spinu
• sprzężenie hermitowskie macierzy