Grupa Liego

(1) Na rysunku obok przedstawiono grupę Liego o 1 parametrze, której elementami są liczby zespolone postaci ${\displaystyle z(\phi )=e^{i\phi };}$  liczby te mają moduł równy 1 – tworzą więc jednocześnie zbiór punktów – okrąg w płaszczyźnie zespolonej.

Z punktu widzenia geometrii zbiór ten jest rozmaitością różniczkową, gdyż można dokonywać operacji różniczkowania; np. definiuje się wektory styczne ${\displaystyle {\vec {s}}_{\phi }}$  do punktów ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$  okręgu za pomocą pochodnych względem parametru ${\displaystyle \phi {:}}$ 

${\displaystyle {\vec {s}}_{\phi }=\left[{\frac {\partial x}{\partial \phi }},{\frac {\partial y}{\partial \phi }},\right]_{\phi =\phi _{0}},}$ 

gdzie ${\displaystyle \phi _{0}}$  to wartości parametru ${\displaystyle \phi }$  wyznaczająca punkt ${\displaystyle P(x_{0},y_{0}),}$  czyli:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}x_{0}=x(\phi _{0})\\y_{0}=y(\phi _{0})\end{matrix}}\end{cases}}.}$ 

(2) Grupą Liego jest grupa obrotów w przestrzeni trójwymiarowej, które opisują 3 ciągłe parametry (np. kąty Eulera).

(3) Grupą Liego jest grupa transformacji Lorentza, którą opisuje 6 ciągłych parametrów.

(4) Grupą Liego jest grupa transformacji Poincarégo, którą opisuje 10 ciągłych parametrów.

Grupa Liego to gładka rozmaitość (klasy ${\displaystyle C^{\infty }}$ ) skończonego wymiaru, która jest grupą, tj. punkty rozmaitości tworzą grupę, a działanie grupowe (np. mnożenie) i branie elementu odwrotnego są odwzorowaniami gładkimi.

Grupa Liego ma strukturę rozmaitości (np. snop funkcji gładkich lub atlas) i strukturę grupy (czyli działanie, wyróżniony element neutralny itd.)

Zazwyczaj określa się, że grupa Liego musi być rozmaitością rzeczywistą skończonego wymiaru. Istnieje kilka podobnych pojęć.

• Zespolona grupa Liego jest zdefiniowana w ten sam sposób, tyle że zamiast rozmaitości rzeczywistej jest rozmaitość zespolona (przykład: SL(2,C)).
• Nieskończeniewymiarowa grupa Liego to grupa Liego, która jest rozmaitością o nieskończonym wymiarze.

Z każdą grupą Liego G możemy powiązać algebrę Liego nad przestrzenią wektorową styczną do przestrzeni G w jedynce (tj. w elemencie neutralnym działania grupowego). Bazę przestrzeni stycznej nazywa się generatorami grupy Liego: każdy element grupy Liego można otrzymać jako exponens odpowiednio dobranej kombinacji linowej generatorów, przy czym generatory danej algebry Liego spełniają dodatkowo nawias Liego.

Przykłady:

• Algebra Liego przestrzeni wektorowej Rⁿ to po prostu Rⁿ z nawiasem Liego zdefiniowanym jako: [A,B]=${\displaystyle {\vec {0}}}$  (A, B, ${\displaystyle {\vec {0}}}$  – wektory n-wymiarowe o współrzędnych rzeczywistych)

W ogólności nawias Liego jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy grupa Liego jest abelowa.

• Algebra Liego pełnej grupy liniowej GL(n,R) macierzy odwracalnych to przestrzeń wektorowa M_n(R) kwadratowych macierzy n×n z nawiasem Liego [A,B]=AB-BA

• algebra Liego
• grupa topologiczna
• struktura algebraiczna

•   Lie group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].