Centralizator i normalizator

Niech ${\displaystyle x\in G.}$  Centralizatorem elementu ${\displaystyle x}$  nazywamy podgrupę

${\displaystyle C_{G}(x)=\{g\in G:gx=xg\}.}$ 

Centralizator elementu zawiera więc wszystkie elementy przemienne z danym.

Powyższą konstrukcję można uogólnić do dowolnego podzbioru ${\displaystyle G,}$  niekoniecznie będącego podgrupą.

Centralizatorem zbioru ${\displaystyle H\subset G}$  nazywamy grupę

${\displaystyle C(H)=\{g\in G:\forall _{h\in H}\;gh=hg\}.}$ 

Grupa ta jest przemienna z każdym z elementów zbioru ${\displaystyle H.}$ 

Centrum grupy – szczególny przypadek centralizatora:

${\displaystyle Z(G)=C_{G}(G).}$ 

Centrum jest więc podgrupą elementów, które są przemienne z każdym elementem grupy ${\displaystyle G,}$  mamy zatem ${\displaystyle Z(G)=\{x\in G:\forall _{g\in G}xg=gx\}.}$ 

O centralizatorze elementu ${\displaystyle x}$  można myśleć jako o największej (w sensie inkluzji) podgrupie ${\displaystyle H\leqslant G}$  zawierającej ${\displaystyle x}$  w swoim centrum ${\displaystyle Z(H).}$ 

Indeks grupy względem centrum ${\displaystyle (G:Z(G))}$  można interpretować jako wskaźnik abelowości grupy – im mniejsza to liczba, tym więcej elementów w grupie jest ze sobą przemiennych i odwrotnie.

W ten sam sposób definiujemy centrum pierścienia, ${\displaystyle Z(R).}$ 

Jeśli ${\displaystyle (G:Z(G))<\infty ,}$  to ${\displaystyle |[G,G]|<\infty .}$ 

Dowód twierdzenia Schura Czytelnik znajdzie w^[1].

Dopełnieniem konceptu centralizatora jest tzw. normalizator zbioru ${\displaystyle H\subset G.}$ 

Normalizatorem ${\displaystyle H}$  w ${\displaystyle G}$  jest podgrupa

${\displaystyle N_{G}(H)=\{g\in G:gH=Hg\}\leqslant G.}$ 

Normalizator swoją nazwę zawdzięcza faktowi, że jeśli ${\displaystyle H\leqslant G,}$  to ${\displaystyle N_{G}(H)}$  jest największą podgrupą ${\displaystyle G}$  mającą ${\displaystyle H}$  jako swoją podgrupę normalną.

Niech ${\displaystyle H\leqslant G}$  będzie dowolną podgrupą. Rozpatrzmy działanie grupy ${\displaystyle \varphi :G\to \Sigma _{G/H}}$  grupy ${\displaystyle G}$  na zbiorze warstw ${\displaystyle G/H}$  zadane wzorem ${\displaystyle \varphi _{g}(aH)=gaH.}$  Wówczas ${\displaystyle \ker \varphi =\bigcap _{g\in G}\;gHg^{-1}\leqslant H}$  jest podgrupą normalną ${\displaystyle G.}$  Jest to największa ze względu na zawieranie podgrupa normalna zawarta w ${\displaystyle H.}$ 

Jeśli ${\displaystyle H\triangleleft G,}$  to ${\displaystyle H=\ker \varphi }$ 

W oznaczeniach centralizatora i normalizatora, o ile nie prowadzi to do nieporozumień, można pominąć indeks oznaczający grupę względem której rozpatruje się centralizator lub normalizator danego elementu, czy zbioru. W grupie ${\displaystyle G}$  mamy więc ${\displaystyle C(H)\equiv C_{G}(H)}$  oraz ${\displaystyle N(H)\equiv N_{G}(H)}$  dla dowolnego zbioru ${\displaystyle H\subset G.}$ 

Niech ${\displaystyle G,G_{1},G_{2}}$  będą grupami, ${\displaystyle H\subset G{:}}$ 

• Niech ${\displaystyle a,b\in G.}$  ${\displaystyle a\in C(b)\iff b\in C(a),}$  co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle a}$  i ${\displaystyle b}$  komutują ze sobą.
  • Jeśli ${\displaystyle G=\{a\},}$  to ${\displaystyle N(S)=C(S)=C(a).}$ 
• Jeśli ${\displaystyle G}$  jest abelowa, to ${\displaystyle C(H)=G}$  oraz ${\displaystyle N(H)=G,}$ 
  • grupa ${\displaystyle G}$  jest abelowa ${\displaystyle \iff Z(G)=G.}$ 
• ${\displaystyle C(H)}$  jest zawsze podgrupą normalną ${\displaystyle N(H),}$ 
  • ${\displaystyle Z(G)}$  jest podgrupą normalną ${\displaystyle G.}$ 
• ${\displaystyle Z(G_{1}\times G_{2})=Z(G_{1})\times Z(G_{2})}$ 
• Jeśli grupa ilorazowa ${\displaystyle G/Z(G)}$  jest cykliczna, to ${\displaystyle G}$  jest abelowa.
• Jeśli ${\displaystyle G}$  jest grupą nieabelową, to jej indeks względem ${\displaystyle Z(G)}$  jest większy od ${\displaystyle 3.}$ 
• Jeśli ${\displaystyle X\neq \varnothing ,}$  to ${\displaystyle Z(G^{X})=(Z(G))^{X}.}$ 

Jeżeli ${\displaystyle H\leqslant G,}$  wtedy grupa ilorazowa ${\displaystyle N(H)/C(H)}$  jest izomorficzna z podgrupą ${\displaystyle \operatorname {Aut} (H),}$  grupą automorfizmów ${\displaystyle H.}$ 

Jeżeli ${\displaystyle N_{G}(G)=G,}$  to ${\displaystyle G/Z(G)}$  jest izomorficzna z ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G),}$  podgrupą ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$  zawierającą wszystkie automorfizmy wewnętrzne grupy ${\displaystyle G.}$ 

Jeżeli ${\displaystyle H\subset G,}$  to homomorfizm ${\displaystyle \varphi \colon G\to \operatorname {Inn} (G)}$  taki, że ${\displaystyle \varphi (x)(g)=\varphi _{x}(g)=xgx^{-1},}$  pozwala na opisanie ${\displaystyle N(H)}$  oraz ${\displaystyle C(H)}$  w terminach działania grupy ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$  na grupie ${\displaystyle G{:}}$ 

• ${\displaystyle \varphi (N(H))}$  jest stabilizatorem ${\displaystyle H}$  w ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G),}$ 
• ${\displaystyle \varphi (C(H))\leqslant \operatorname {Inn} (G)}$  jest podgrupą punktów stałych ${\displaystyle H.}$ 

• działanie grupy na zbiorze
• grupa
• grupa ilorazowa

• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.