Walec hiperboliczny

Walec hiperboliczny – walec, w którym stałą krzywą jest hiperbola, a jego generatory są prostopadłe do płaszczyzny tejże hiperboli. Kwadryka w układzie współrzędnym jest opisana równaniem:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Powierzchnię prostokreślną walca można sparametryzować:

${\displaystyle x=asinh\ u}$

${\displaystyle y=bcosh\ u}$

${\displaystyle z=v}$

Miarą zakrzywienia powierzchni walca hiperbolicznego jest:

${\displaystyle K=0}$

${\displaystyle H=-{\frac {ab}{2(a^{2}cosh^{2}u+b^{2}sinh^{2}u)^{3/2}}}}$

Współczynniki ${\displaystyle K}$ i ${\displaystyle H}$ pomagają w dowodzeniu Theorema Egregium, czyli Twierdzenie wyborne (krzywizna powierzchni jest niezmiennikiem wszelkich przekształceń, które nie zmieniają odległości mierzonych na tej powierzchni)

Współczynniki Christoffela pierwszego stopnia dowolnej powierzchni Riemannowskiej można zdefiniować, posługując się współczynnikami ${\displaystyle E,\ F,\ G}$ i wzorem kwadryki, dzięki którym można zbadać krzywiznę w każdym punkcie półpłaszczyzny hiperbolicznej.

${\displaystyle E=a^{2}cosh^{2}u+b^{2}sinh^{2}u}$

${\displaystyle F=0}$

${\displaystyle G=1}$

W przypadku współczynników Christoffela drugiego stopnia, trzeba posłużyć się współczynnikami ${\displaystyle e,\ f,\ g}$ i wzorem kwadryki.

${\displaystyle e=-{\frac {ab}{\sqrt {\ a^{2}cosh^{2}u+b^{2}sinh^{2}u}}}}$

${\displaystyle f=0}$

${\displaystyle g=0}$

• W.H. Beyer: CRC Standard Mathematical Tables. CRC Press: Boca Raton, 1987, s. 210–211.
• D. Hilbert: Geometry and the Imagination. New York: Chelsea: Cohn-Vossen, 1999, s. 12.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hyperbolic Cylinder, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-20].