Rozkład Pascala

Rozkład Pascala

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa Czerwona linia oznacza wartość oczekiwaną, a zielona ma w przybliżeniu długość 2σ.
Parametry	${\displaystyle r>0}$ (liczba rzeczywista) ${\displaystyle 0<p<1}$ (liczba rzeczywista) Poniższe wzory dotyczą wariantu opisującego liczbę sukcesów ${\displaystyle k}$ przed porażką ${\displaystyle r.}$ Inne parametryzacje opisują inne wzory.
Nośnik	${\displaystyle k\in \{0,1,2,\dots \}}$
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa	${\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{k}\,(1-p)^{r}}$
Dystrybuanta	${\displaystyle I_{p}(r,k+1){\text{ gdzie }}I_{p}(x,y)}$ jest regularyzowaną niekompletną funkcją Beta
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle {\frac {rp}{(1-p)}}}$
Moda	${\displaystyle \lfloor (r-1)\,(1-p)/p\rfloor \iff r>1}$ ${\displaystyle 0\iff r\leqslant 1}$
Wariancja	${\displaystyle r\,{\frac {p}{(1-p)^{2}}}}$
Współczynnik skośności	${\displaystyle {\frac {1+p}{\sqrt {r\,p}}}}$
Kurtoza	${\displaystyle {\frac {6}{r}}+{\frac {(1-p)^{2}}{pr}}}$
Entropia	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {2\pi erp}{(1-p)^{2}}}\right)+O\left({\frac {1}{r}}\right)}$
Funkcja tworząca momenty	${\displaystyle {\bigg (}{\frac {1-p}{1-pe^{t}}}{\bigg )}^{\!r}{\text{ przy }}t<-\log p}$
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle {\bigg (}{\frac {1-p}{1-pe^{i\,t}}}{\bigg )}^{\!r}{\text{ with }}t\in \mathbb {R} }$

Rozkład Pascala (ujemny rozkład dwumianowy) – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący m.in. liczbę sukcesów i porażek w niezależnych i posiadających równe prawdopodobieństwo sukcesu próbach Bernoulliego. Jest uogólnieniem rozkładu geometrycznego dla wielu prób.

Termin „ujemny rozkład dwumianowy” nie jest w pełni usystematyzowany. Może dotyczyć jednego z kilku wariantów funkcji opisujących te same zmienne losowe z subtelnymi różnicami w parametryzacji – liczby prób, albo sukcesów lub porażek (czasem liczonych bez ostatniego), przy określonej wartości jednej z tych zmiennych. Momenty i inne charakterystyki poszczególnych wersji rozkładu różnią o proste transformacje^[1][2][3]. Nazwa „rozkład Pascala” opisuje z reguły warianty dla wartości całkowitych, liczonych bez ostatniego zdarzenia^[3].

Rozważmy ciąg ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ niezależnych prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu równym ${\displaystyle p.}$ Ustalmy liczbę ${\displaystyle r.}$ Obserwujemy ten ciąg do momentu stwierdzenia ${\displaystyle r}$-tej porażki. Oznaczmy ten moment przez ${\displaystyle T.}$ O zmiennej losowej ${\displaystyle T-r}$ mówimy, że ma ujemny rozkład dwumianowy NB(r,p) z parametrami ${\displaystyle r}$ oraz ${\displaystyle p.}$

Niech ${\displaystyle X}$ ma rozkład NB(r,p). Wtedy ${\displaystyle X=k}$ (gdzie ${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$) jeśli w ${\displaystyle r+k}$-tym momencie zaszła porażka oraz w ciągu ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{r+k-1}}$ zaszło ${\displaystyle r-1}$ porażek. Zatem

${\displaystyle P(X=k)={\binom {r+k-1}{r-1}}(1-p)^{r-1}p^{(r+k-1)-(r-1)}(1-p),}$

czyli

${\displaystyle P(X=k)={\binom {r+k-1}{r-1}}(1-p)^{r}p^{k}.}$

Na rozkład ten można spojrzeć w następujący sposób: rozważamy ciąg niezależnych zmiennych ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{r}}$ o rozkładzie geometrycznym z parametrem sukcesu ${\displaystyle 1-p}$ odpowiadające obserwacji naszego ciągu po porażce ${\displaystyle r-1}$ do porażki ${\displaystyle r}$ włącznie. Niech ${\displaystyle Y=Y_{1}+\ldots +Y_{r}.}$ Wtedy zmienna losowa ${\displaystyle X=Y-r,}$ zliczająca jedynie liczbę sukcesów, ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami ${\displaystyle r}$ oraz ${\displaystyle p.}$ Z tego otrzymujemy natychmiast wzór na wartość oczekiwaną zmiennej losowej o tym rozkładzie

${\displaystyle E(X)=r\cdot {\frac {1}{1-p}}-r={\frac {rp}{1-p}}.}$

W podobny sposób można wyprowadzić wzór na wariancję.

Dla porównania, w trochę innej definicji ujemnego rozkładu dwumianowego, porażkę zastępuje się sukcesem oraz nie odejmuje się parametru ${\displaystyle r}$ od momentu zajścia ${\displaystyle r}$-tego sukcesu. Otrzymujemy wtedy zmienną losową ${\displaystyle X}$ o następujący rozkładzie

${\displaystyle P(X=k)={\binom {k-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k-r},\quad k\geqslant r.}$

Zmienna ta jest sumą r niezależnych zmiennych o rozkładzie geometrycznym z parametrem sukcesu ${\displaystyle p.}$

Rozkład był prezentowany w literaturze na kilka różnych sposobów, z subtelnymi zmianami parametryzacji^[1][2][3]. Różnice w notacji dotyczą m.in. stosowania równoważności pomiędzy liczbą prób ${\displaystyle n,}$ sukcesów ${\displaystyle k}$ i porażek ${\displaystyle r,}$ np. ${\displaystyle n=k+r,}$ tego, czy nośnik zaczyna się od 0 czy 1, oraz z możliwości przedstawienia wzoru z użyciem różnych form symbolu Newtona, także z wykorzystaniem tożsamości kombinacji dopełniających:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={n \choose n-k}.}$

Poniższa tabela przedstawia niektóre spotykane formy rozkładu.

${\displaystyle X}$ zlicza:	Nośnik i funkcja rozkładu prawdopodobieństwa	Wzór
${\displaystyle k}$ sukcesów, przy danych ${\displaystyle r}$ porażkach	dla ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\dots \}}$${\displaystyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)=}$	${\displaystyle {\binom {k+r-1}{k}}p^{k}(1-p)^{r}}$[4][5]
		${\displaystyle {\binom {k+r-1}{r-1}}p^{k}(1-p)^{r}}$ (wariant opisany powyżej)
		${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}p^{k}(1-p)^{r}}$
${\displaystyle n}$ prób, przy danych ${\displaystyle r}$ porażkach	dla ${\displaystyle n\in \{r,r+1,r+2,\dots \}}$${\displaystyle f(n;r,p)\equiv \Pr(X=n)=}$
		${\displaystyle {\binom {n-1}{r-1}}p^{n-r}(1-p)^{r}}$
		${\displaystyle {\binom {n-1}{n-r}}p^{n-r}(1-p)^{r}}$
${\displaystyle r}$ porażek, przy danych ${\displaystyle k}$ sukcesach	dla ${\displaystyle r\in \{0,1,2,\dots \}}$${\displaystyle f(r;k,p)\equiv \Pr(X=r)=}$	${\displaystyle {\binom {k+r-1}{r}}p^{k}(1-p)^{r}}$[2][6]
		${\displaystyle {\binom {k+r-1}{k-1}}p^{k}(1-p)^{r}}$[7][8][9][10]
		${\displaystyle {\binom {n-1}{r}}p^{k}(1-p)^{r}}$
${\displaystyle n}$ prób, przy danych ${\displaystyle k}$ sukcesach	dla ${\displaystyle n\in \{k,k+1,k+2,\dots \}}$${\displaystyle f(n;k,p)\equiv \Pr(X=n)=}$
		${\displaystyle {\binom {n-1}{k-1}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$[2][10][11][12][13][14]
		${\displaystyle {\binom {n-1}{n-k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$
${\displaystyle k}$ sukcesów, przy danych ${\displaystyle n}$ próbach (rozkład dwumianowy – dla porównania)	dla ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\dots ,n\}}$${\displaystyle f(k;n,p)\equiv \Pr(X=k)=}$	${\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{r}}$

Wzór można także rozszerzyć dla niecałkowitych wartości ${\displaystyle r}$ z użyciem funkcji gamma, np.:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(r,k,p)&={\frac {(k+r-1)!}{k!\;(r-1)!}}\;p^{r}\,(1-p)^{k}\\&={k+r-1 \choose r-1}\;p^{r}\,(1-p)^{k}\!\\&={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}\end{aligned}}}$

opisuje, jakie jest prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania na ${\displaystyle r}$-ty sukces będzie wynosił ${\displaystyle k+r.}$

• William Feller: Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Warszawa: PWN, 2007, s. 159–160. ISBN 978-83-01-14684-9.