Przestrzeń L_p

Przestrzenie ${\displaystyle \ell _{p},}$ ${\displaystyle L_{p},}$ ${\displaystyle L_{p}(\mu )}$ – dla ustalonej liczby dodatniej ${\displaystyle p}$ – klasy przestrzeni liniowo-topologicznych, odpowiednio: takich ciągów liczbowych, że szereg ${\displaystyle p}$-tych potęg modułów ich wyrazów jest zbieżny oraz funkcji mierzalnych, całkowalnych w ${\displaystyle p}$-tej potędze na ustalonym zbiorze (utożsamia się funkcje równe prawie wszędzie). W przypadku ${\displaystyle p\geqslant 1}$ w przestrzeniach tych można w naturalny sposób zdefiniować normę i są one wtedy przestrzeniami Banacha. Przestrzenie ${\displaystyle \ell _{2}}$ oraz ${\displaystyle L_{2}}$ są ponadto przestrzeniami Hilberta z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym. Przestrzenie ${\displaystyle \ell _{p}}$ są szczególnymi przypadkami przestrzeni ${\displaystyle L_{p}(\mu ).}$

Przestrzenie ${\displaystyle L_{p}}$ znajdują zastosowanie w statystyce, ekonomii matematycznej i inżynierii.

W przestrzeni ${\displaystyle K^{n},}$ gdzie ${\displaystyle K}$ jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych (ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia przez skalar) można, dla ustalonego ${\displaystyle p>0}$ rozważać funkcję

${\displaystyle \|{\cdot }\|_{p}\colon K^{n}\to [0,\infty )}$

daną wzorem

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\ldots +|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}},\;\;x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$

Dla ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$ funkcja ta jest normą wraz z którą ${\displaystyle K^{n}}$ jest ${\displaystyle n}$-wymiarową przestrzenią Banacha, oznaczaną symbolem ${\displaystyle \ell _{p}^{n}.}$ W przypadku ${\displaystyle p=2}$ norma przestrzeni ${\displaystyle \ell _{2}^{n}}$ jest normą euklidesową.

Ciągi liczbowe (o wyrazach z ciała liczb rzeczywistych bądź zespolonych) można interpretować jako wektory o nieskończonej liczbie współrzędnych i zdefiniować dla nich analogiczne działania dodawania i mnożenia przez skalar jak w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowej:

• dodawanie:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\dots )+(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n},\dots )=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots ,x_{n}+y_{n},\dots ),}$

• mnożenie przez skalar:

${\displaystyle \lambda (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\dots )=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n},\dots ),}$

gdzie ${\displaystyle \lambda }$ jest skalarem.

Zbiór wszystkich ciągów liczbowych ${\displaystyle V}$ z określonymi wyżej działaniami jest przestrzenią liniową nad ciałem z którego pochodzą wyrazy rozważanych ciągów. Dla ustalonego ${\displaystyle 0<p<\infty }$ zbiór tych wszystkich ciągów liczbowych ${\displaystyle x=(x_{n})}$ dla których

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty }$

tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni ${\displaystyle V.}$

Dopuszczając ${\displaystyle p=\infty ,}$ definiuje się

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup\{|x_{n}|:n\in \mathbb {N} \}.}$

Przestrzenie ${\displaystyle \ell _{p}}$ to podprzestrzenie liniowe ${\displaystyle V}$ dla których

${\displaystyle \ell _{p}=\{x\in V:\|x\|_{p}<\infty \}.}$

Powyższy wzór określa normę w ${\displaystyle \ell _{p}}$ dla ${\displaystyle p\in [1,\infty ].}$ Warunek trójkąta dla normy ${\displaystyle \|{\cdot }\|_{p}}$ w przypadku ${\displaystyle p<\infty }$ wynika z nierówności Minkowskiego:

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\big [}|a_{n}|+|b_{n}|{\big ]}^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}\leqslant \left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}+\left(\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}},}$

gdzie ${\displaystyle (a_{n}),\ (b_{n})}$ są elementami ${\displaystyle \ell _{p}.}$

Dowód nierówności Minkowskiego opiera się o nierówność Höldera:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}b_{n}|\leqslant \left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|^{q}\right)^{\tfrac {1}{q}},}$

gdzie ${\displaystyle (a_{n})\in \ell _{p},}$ ${\displaystyle (b_{n})\in \ell _{q},}$ ${\displaystyle 1/p+1/q=1;}$ umownie ${\displaystyle 1/\infty =0.}$

Norma w przestrzeniach ${\displaystyle \ell _{p}}$ jest zupełna, a więc przestrzenie ${\displaystyle \ell _{p}}$ są przestrzeniami Banacha.

Przykładowo, niezerowy ciąg stały nie należy do żadnej przestrzeni ${\displaystyle \ell _{p},\ p\in [1,\infty ),}$ gdyż nie jest sumowalny w żadnej potędze. Jest on jednak ograniczony, więc jest on elementem przestrzeni ${\displaystyle \ell _{\infty }.}$ Ciąg o wyrazie ogólnym ${\displaystyle 1/n}$ nie należy do przestrzeni ${\displaystyle \ell _{1},}$ jednak dla każdego ${\displaystyle p>1}$ należy on do przestrzeni ${\displaystyle \ell _{p}.}$

• Przestrzenie ${\displaystyle \ell _{1}}$ i ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ nie są refleksywne, natomiast w przypadku ${\displaystyle 1<p<\infty }$ przestrzenie ${\displaystyle \ell _{p}}$ są. Dla ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ przestrzeń sprzężona do ${\displaystyle \ell _{p}}$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią ${\displaystyle \ell _{q}}$ gdzie ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ (konwencja: ${\displaystyle 1/\infty =0}$). Dualność ta wyznaczona jest przez związek

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}y_{n},\;\;x=(x_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{p},\;\;y=(y_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{q}.}$

• Przestrzeń ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ jest nieośrodkowa, podczas gdy dla ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ przestrzenie ${\displaystyle \ell _{p}}$ są ośrodkowe.
• Przestrzenie ${\displaystyle \ell _{p}}$ są jednostajnie wypukłe dla ${\displaystyle 1<p<\infty .}$
• Przestrzeń ${\displaystyle \ell _{p}}$ jest (izomorficzna z) przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle p=2.}$

Niech ${\displaystyle p>0}$ będzie liczbą rzeczywistą oraz niech ${\displaystyle (\Omega ,F,\mu )}$ będzie przestrzenią z miarą σ-skończoną. Niech ${\displaystyle L(\mu )}$ będzie zbiorem klas abstrakcji relacji równoważności w rodzinie wszystkich funkcji mierzalnych na ${\displaystyle \Omega }$ względem relacji równoważności danej warunkiem ${\displaystyle f\sim g}$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór ${\displaystyle \{x\in \Omega :f(x)\neq g(x)\}}$ jest ${\displaystyle \mu }$-miary zero. Zbiór

${\displaystyle L_{p}(\mu )={\Bigg \{}f\in L(\mu ):\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}x)<\infty {\Bigg \}}}$

ma naturalną strukturę przestrzeni liniowej.

Niech ${\displaystyle p\in [1,\infty ).}$ Z nierówności Minkowskiego wynika, że wzór

${\displaystyle \|f\|_{L_{p}(\mu )}={\Bigg (}\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}x){\Bigg )}^{\tfrac {1}{p}}}$

definiuje normę przestrzeni ${\displaystyle L_{p}(\mu ).}$ Norma ta jest zupełna, a więc ${\displaystyle L_{p}(\mu )}$ jest przestrzenią Banacha. Gdy ${\displaystyle \Omega }$ jest mierzalnym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, symbolem ${\displaystyle L_{p}(\Omega )}$ oznacza się przestrzeń ${\displaystyle L_{p}(\mu ),}$ gdzie ${\displaystyle \mu }$ jest miarą Lebesgue’a zacieśnioną do rodziny mierzalnych podzbiorów zbioru ${\displaystyle \Omega .}$

Gdy miara ${\displaystyle \mu }$ jest skończona, to zachodzą inkluzje ${\displaystyle L_{p}(\mu )\subseteq L_{q}(\mu )}$ o ile tylko ${\displaystyle p\geqslant q}$ (włączając przypadek ${\displaystyle p=\infty ,}$ zdefiniowany niżej). W przypadku, gdy ${\displaystyle \mu }$ jest nieskończona, tj. ${\displaystyle \mu (\Omega )=\infty }$ powyższe inkluzje nie zachodzą. Na przykład dla ustalonego ${\displaystyle p\geqslant 1}$ funkcja

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{\frac {1}{p}}(\ln ^{2}x+1)}}\;\;(x>0)}$

należy do ${\displaystyle L_{p}(0,\infty ),}$ ale nie należy do ${\displaystyle L_{r}(0,\infty ),}$ gdy ${\displaystyle r\neq p.}$

Symbolem ${\displaystyle L_{\infty }(\mu )}$ oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że

${\displaystyle {\mbox{ess sup}}_{x\in \Omega }|f(x)|:=\inf\{\sup\{|f(x)|:x\in \Omega \setminus A\}:A\in {\mathcal {A}},\mu (A)=0\}<\infty ,}$

z normą

${\displaystyle \|f\|={\mbox{ess sup}}_{x\in \Omega }|f(x)|.}$

W przypadku ${\displaystyle 0<p<1}$ nadal można mówić o przestrzeniach ${\displaystyle L_{p},}$ nie mają już one jednak struktury przestrzeni Banacha (nie są nawet lokalnie wypukłe).

Dla liczb nieujemnych ${\displaystyle a,b}$ oraz liczby ${\displaystyle 0<p<1}$ znana jest następująca nierówność:

${\displaystyle (a+b)^{p}\leqslant a^{p}+b^{p},}$

z której wynika, że

${\displaystyle \Delta _{p}(f+g)\leqslant \Delta _{p}(f)+\Delta _{p}(g),}$

przy czym ${\displaystyle \Delta _{p}(f)=\int |f(x)|^{p}\mu ({\mbox{d}}x).}$ Na mocy powyższego, wzór

${\displaystyle d(f,g)=\Delta _{p}(f-g)}$

określa metrykę niezmienniczą ze względu na przesunięcia w przestrzeni ${\displaystyle L_{p}(\mu ).}$ Metryka ta jest zupełna. W szczególności, ${\displaystyle L_{p}(\mu )}$ ma strukturę zupełnej liniowo-metrycznej, której bazę otoczeń zera tworzy rodzina kul

${\displaystyle B_{r}=\{f\in L_{p}(\mu ):\Delta _{p}(f)<r\}\;(r>0).}$

Dla każdej liczby ${\displaystyle r>0}$ zachodzi związek

${\displaystyle B_{1}=r^{-{\frac {1}{p}}}B_{r},}$

więc kula ${\displaystyle B_{1}}$ jest ograniczona, tj. przestrzeń ${\displaystyle L_{p}(\mu )}$ jest lokalnie ograniczoną F-przestrzenią. Przestrzeń ta nie zawiera zbiorów wypukłych i otwartych innych niż zbiór pusty i cała przestrzeń ${\displaystyle L_{p}(\mu ).}$ Brak lokalnej wypukłości prowadzi do następującej konsekwencji: Niech ${\displaystyle Y}$ będzie dowolną lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną i niech ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ będzie jej bazą otoczeń zera złożoną ze zbiorów wypukłych. Jeśli ${\displaystyle T\colon L_{p}(\mu )\to Y}$ jest operatorem liniowym i ciągłym oraz ${\displaystyle W}$ jest elementem bazy ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ to ${\displaystyle T^{-1}(W)}$ jest niepustym, otwartym i wypukłym podzbiorem ${\displaystyle L_{p}(\mu ),}$ tj. musi być on już równy całej przestrzeni. W konsekwencji ${\displaystyle T(L_{p}(\mu ))}$ zawiera się w każdym elemencie bazy ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ tj. ${\displaystyle T}$ jest operatorem zerowym.

Dla przestrzeni ${\displaystyle L_{p}(\mu )(0<p<1)}$ istnieją odpowiedniki nierówności Höldera i Minkowskiego.

Nierówność Höldera: Niech ${\displaystyle 0<p<1}$ oraz niech ${\displaystyle p'=p/(p-1).}$ Wówczas dla ${\displaystyle f\in L_{p}(\mu ),}$ ${\displaystyle g\in L_{p'}(\mu )}$ spełniających warunek ${\displaystyle 0<\Delta _{p'}(g)<\infty }$ zachodzi oszacowanie

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }|f(t)g(t)|\,\mu ({\mbox{d}}t)\leqslant {\Bigg (}\int \limits _{\Omega }|f(t)|^{p}\,\mu ({\mbox{d}}t){\Bigg )}^{\frac {1}{p}}{\Bigg (}\int \limits _{\Omega }|g(t)|^{p'}\mu ({\mbox{d}}t){\Bigg )}^{\frac {1}{p'}}.}$

Nierówność Minkowskiego: Dla ${\displaystyle 0<p<1}$ oraz ${\displaystyle f,g\in L_{p}(\mu )}$ zachodzi oszacowanie:

${\displaystyle \Delta _{p}(|f|+|g|)^{\frac {1}{p}}\leqslant \Delta _{p}(f)^{\frac {1}{p}}+\Delta _{p}(g)^{\frac {1}{p}}.}$

• przestrzeń Orlicza