Alternatywność

W algebrze o grupoidzie ${\displaystyle G}$ mówi się, że jest lewostronnie alternatywny, jeśli ${\displaystyle (xx)y=x(xy)}$ dla każdego ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ w ${\displaystyle G}$ oraz prawostronnie alternatywny, jeśli ${\displaystyle y(xx)=(yx)x}$ dla każdego ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ w ${\displaystyle G.}$ O grupoidzie będącym zarazem lewo- jak i prawostronnie alternatywnym mówi się krótko, iż jest alternatywny.

Każdy grupoid łączny (półgrupa) jest alternatywny. Ogólniej grupoid, w którym każda para elementów generuje łączny podgrupoid, musi być alternatywny. Jednak, w przeciwieństwie do sytuacji w algebrze alternatywnej, twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe i grupoid alternatywny nie musi być nawet potęgowo łączny.

Przykładem działania alternatywnego jest mnożenie w oktawach Cayleya.

• alternative algebra, nLab, ncatlab.org [dostęp 2024-02-02].