Wiens forskyvningslov

Loven sier strålingen er mest intens ved en absolutt temperatur T for en bølgelengde λ_m som er gitt ved relasjonen

${\displaystyle \lambda _{m}T=2897,77\,\mu \mathrm {m\cdot K} }$ 

Verdien av konstanten på høyre side følger fra Plancks strålingslov. Den første, presise målingen av denne konstanten ble gjort av de to tyske eksperimentalfysikerne O. Lummer og E. Pringsheim i 1900.^[3]

Solen har en overflatetemperatur på ca. 5780 K som gir λ_m = 530 nm som tilsvarer synlig lys. Jorden med en overflatetemperatur på ca. 300 K, vil ha maksimal utstråling for bølgelengder rundt 10 μm som er i den infrarøde delen av det elektromagnetiske spekteret og blir absorbert i atmosfæren. Dette er en viktig grunn for drivhuseffekten. Den kosmiske bakgrunnstrålingen har en temperatur i dag på T = 2,73 K som tilsvarer bølglengder omkring λ_m = 1 mm eller frekvenser rundt 300 GHz.

Ved bruk av termodynamikk hadde den østerrikske fysiker Ludwig Boltzmann vist i 1884 at energitettheten økte med temperaturen T i fjerde potens.^[4] I denne forbindelse hadde Boltzmann sett på hva som skjer med strålingen, innesluttet i en sylinder med et stempel, når stemplet trekkes langsomt ut slik at volumet øker. En slik adiabatisk forandring betyr at entropien til strålingen forblir uforandret.

Denne prosessen ville Wien undersøke nærmere. Han betraktet et sfærisk hulrom med radius R med sort stråling. Ved en adiabatisk forandring av volumet V vil dermed entropien til strålingen være konstant som betyr at VT³ = konst. Derfor må produktet RT forbli uforandret, noe som betyr at temperaturen vil avta.

Wien antok at veggen i hulrommet var fullstendig reflekterende. Han kunne da vise at bølgelengden λ økte proporsjonalt med radius R på grunn av Doppler-effekten. Det betyr derfor at λT er konstant under denne utvidelsen hvor den tilsvarende frekvensen ν = c/λ avtar.

Men Stefan-Boltzmanns lov må være oppfylt, også i hvert frekvensintervall. Sammenligner man derfor den spektrale energitettheten u_ν(T) dν ved to temperaturer T og T' = (ν'/ν)T, må derfor

${\displaystyle u_{\nu }(T)d\nu =\left({T \over T'}\right)^{4}u_{\nu '}(T')d\nu '=\left({T \over T'}\right)^{3}u_{\nu '}(T')d\nu }$ 

Hvis man her setter at ν' = konst, har man dermed at u_ν(T) = T³f(T/ν) for en eller annen funksjon f(x). Det betyr at

${\displaystyle u_{\nu }(T)=\nu ^{3}g(\nu /T)}$ 

hvor funksjonen g(x) bare inneholder en variabel, men kan ikke bestemmes. Men den må avta tilstrekkelig raskt for høye frekvenser slik at den gir en integrert energitetthet som er endelig. Dette er den matematiske formen for Wiens forskyvningslov.

Den spektrale energitettheten kan også skrives som en funksjon u_λ(T) av bølgelengden. Sammenhengen mellom disse to spektralfordelingene er gitt ved at u_λdλ = u_ν dν. Men da dλ =  (c/ν²) dν, har man at u_λ = (c/λ²)u_ν som også gir disse to funksjonene forskjellig dimensjon. Wiens forskyvingslov for denne energitettheten blir dermed

${\displaystyle u_{\lambda }(T)=\lambda ^{-5}h(\lambda T)}$ 

hvor funksjonen h(x) igjen ikke kan beregnes fra en slik generell utledning. Hvis man plotter λ⁵u_λ(T), vil alle målepunkter for forskjellige λ og T falle på en kurve. Det er ensbetydende med at kurvene for u_λ(T) som funksjoner av bølgelengden ved forskjellige temperaturer, ikke vil skjære hverandre. Denne lovmessigheten og funksjonen h(λT) ble først eksperimentelt påvist av Lummer og Pringsheim i 1899.^[5]

Wien brukte dette resultatet et par år senere til å forslå en form for denne funksjonen basert på Maxwell-Boltzmanns fordelingslov for hastighetene til molekylene i en gass. Resultatet kalles Wiens strålingslov og spilte en viktig rolle frem til Plancks strålingslov ble funnet i 1900.

Hvis funksjonen u_λ(T) har et maksimum for en bølgelengde λ_m ved en gitt temperatur T, kan den bestemmes fra kravet om at den deriverte av funksjonen λ^-5h(λT) skal være null for denne bølgelengden. Det gir ligningen

${\displaystyle \lambda Th'(\lambda T)-5h(\lambda T)=0}$ 

som vil ha en løsning for λ_mT = konst. Bølgelengden for maksimum til strålingsintensiteten vil altså forskyves mot kortere bølgelengder ved høyere temperaturer.

I løpet av 1899 ble det gjort mer presise målinger av strålingsintensiteten som inneholdt data for lengre bølgelenger enn tidligere.^[5] De viste klart at Wiens strålingslov ikke kunne være generelt gyldig.^[6] Disse eksperimentene fikk Max Planck til å utvikle en ny strålingslov som kan skrives på formen^[7]

${\displaystyle u_{\nu }(T)={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}{\frac {h\nu }{e^{h\nu /k_{B}T}-1}}}$ 

Her er k_B Boltzmanns konstant og h den nye konstanten han hadde vært nødt til å innføre. Denne nye loven var i overensstemmelse med både Wiens forskyvingslov og de nye målingene.

Frekvensen for maksimum av denne nye spektralfunksjonen finnes nå fra ∂u_ν/∂ν = 0. Ved å innføre x = hν/k_BT som ny variabel, gir nå derivasjonen ligningen

${\displaystyle {\frac {8\pi h\nu ^{2}}{c^{3}}}\left[{3 \over e^{x}-1}-{xe^{x} \over (e^{x}-1)^{2}}\right]=0.}$ 

Det betyr at x/3 = 1 - e^-x som må løses numerisk. Det gir x_m = 2,82144... ved maksimum. Den tilsvarende frekvensen er dermed

${\displaystyle {\nu _{m} \over T}={x_{m}k_{B} \over h}=58,789\,\mathrm {GHz} \cdot \mathrm {K} ^{-1}}$ 

For eksempel har den kosmiske bakgrunnsstrålingen en temperatur på 2,73 K og derfor en maksimum ved frekvenser rundt 200 GHz.

Men dette gir ikke maksimum til den relaterte spektralfunksjonen

${\displaystyle u_{\lambda }(T)={8\pi hc \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda k_{B}T}-1}}$ 

Det kan beregnes på samme måte ved å innføre x = hc/λk_BT som ny variabel. Da er maksimum bestemt ved ligningen x/5 = 1 - e^-x som gir x'_m = 4,96511... ved maksimum. Den tilsvarende bølgelengden oppfyller dermed

${\displaystyle \lambda _{m}T={hc \over x'_{m}k_{B}}=2897,77\,\mu \mathrm {m\cdot K} }$ 

Da ν_m og λ_m bestemmer maksima for to forskjellige funksjoner, er ν_mλ_m/c = 0,568 i stedet for 1,000 som man kanskje kunne ha forventet. For strålingen fra Solen med temperatur på omtrent 5800 K, er λ_m = 500 nm som tilsvarer grønt lys midt i det synlige spekteret. Men beregner man frekvensen ν_m, tilsvarer den en bølgelengde nærmere 900 nm som er nesten i den infrarøde delen av spekteret.

• P. Callin, J. Pålsgård, R. Stadsnes og C.W. Tellefsen, Ergo: Fysikk 1, Aschehoug, Oslo (2007).
• R. Renstrøm, Fysikkens historie, Høyskoleforlaget, Oslo (2006).
• E. Lillestøl, O. Hunderi og J.R. Lien, Generell Fysikk, Universitetsforlaget, Oslo (2001).
• M. Planck, The Theory of Heat Radiation, Dover Publications, New York (2003). ISBN 0-486-66811-8.
• M. Longair, Theoretical Concepts in Physics, Cambridge University Press, England (2003). ISBN 978-0-521-82126-1.