Kovariant relativitetsteori

 

Man tenker seg et inertialsystem med kartesiske koordinater (x, y, z) hvor hver hendelse kan tilordnes en gitt tid t ved bruk av synkroniserte klokker. Dette kalles det stasjonære systemet. Alternativt kan man beskrive de samme hendelsene fra et annet inertialsystem som beveger seg langs den positive x-aksen med hastighet v og med koordinater (x', y', z'). Tiden i det stasjonære systemet er justert slik at når x' = x = 0, så er t = 0. Origo i de to referansesystemene er da i samme punkt. De to settene med koordinater er nå forbundet ved relasjonene

${\displaystyle t'=\gamma (t-vx/c^{2})\;,\;\;\;x'=\gamma (x-vt)\;,\;\;\;\ y'=y,\;\;z'=z}$ 

som utgjør Lorentz-transformasjonen. Her er γ = 1/√(1 - v²/c²) den vanlige Lorentz-faktoren. De to koordinatene y og z som er transverse til bevegelsen, forblir uforandrete eller er invariante.^[1]

De fire koordinatene kan nå grupperes sammen i en firevektor med komponenter x^μ = (ct, x, y, z) som spesifiseres ved indeksen μ = 0,1,2,3. For senere bruk er det en fordel å la denne stå oppe og kalle disse komponentene for kontravariante. De definerer en vektor i et firedimensjonalt Minkowski-rom.

Tenker man seg disse komponentene ordnet som en kolonnematrise, kan nå denne sammenhengen skrives som et matriseprodukt

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma v/c&0&0\\-\gamma v/c&\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}},}$ 

hvor vi har innført en 4×4 matrise som representerer Lorentz-transformasjonen. For en transformasjon i en annen retning enn langs x-aksen, ville matrisen opplagt sett annerledes ut. På komponentsform kan dette skrives mer kompakt som

${\displaystyle x^{\mu '}=\sum _{\nu =0}^{3}\Lambda _{\;\;\nu }^{\mu '}x^{\nu }}$ 

hvor symbolene Λ^μ'_ν  utgjør elementene i transformasjonsmatrisen Λ. Her er ν et eksempel på en summasjonsindeks. De opptrer nøyaktig to steder på samme side av en slik transformasjonsligning. Man kunne like godt gitt den et annet navn, som σ. Når man ser to av dem, vet man at da skal det summeres over dem. Man kan derfor helt utelate summasjonstegnet og skrive transformasjonen enda mer kompakt som x^μ' = Λ^μ'_ν x^ν. Dette er Einsteins summekonvensjon og forenkler i stor grad alle matematiske uttrykk som brukes i relativitetsteorien.

Posisjonsvektoren x angir et punkt i Minkowski-rommet. Det er viktig å tenke seg denne og andre vektorer som absolutte størrelser uavhengig av koordinatsystemer. Bare komponentene til vektoren vil være forskjellige i forskjellige inertialsystem. Derfor er det naturlig å angi dette med at indeksene og ikke selve vektoren forandrer seg.

Man kan nå definere matematisk hva en firevektor er. Hvis det finnes en størrelse med fire komponenter som transformer som

${\displaystyle V^{\mu '}=\Lambda _{\;\;\nu }^{\mu '}V^{\nu }}$ 

under en Lorentz-transformasjon, så er dette en firevektor. Innfører man den inverse transformasjonen Λ^-1 som tilfredsstiller Λ^-1Λ = ΛΛ^-1 = 1, så er da på komponentform

${\displaystyle V^{\mu }=(\Lambda ^{-1})_{\;\;\nu '}^{\mu }V^{\nu '}}$ 

hvor den inverse transformasjonen har matriseelement som tilfredsstiller

${\displaystyle (\Lambda ^{-1})_{\;\;\sigma '}^{\mu }\Lambda _{\;\;\nu }^{\sigma '}=\delta _{\;\;\nu }^{\mu }}$ 

På høyre side er Kronecker-deltaet som definerer komponentene i en 4×4 enhetsmatrise. Transformasjonsmatrisene Λ som opptrer her, danner en tilsvarende representasjon av Lorentz-gruppen.

En annen firevektor opptrer i beskrivelsen av en plan, elektromagnetisk bølge med bølgelengde λ. Den har et elektriske felt som kan skrives som E(x,t) = E₀ cos(k⋅x - ωt) hvor E₀ er en konstant vektor. Retningen til bølgen er gitt ved bølgevektoren k hvor k = |k| = 2π/λ er bølgetallet, mens ω = 2πν er vinkelfrekvensen med ν = c/λ. Fasen k⋅x - ωt inneholder informasjon om hvor mange bølgetopper passerer et punkt i tidrommet med disse koordinatene. I det følgende er det enklest å anta at bølgevektoren ligger i (x,y) - planet slik at k⋅x = k_xx + k_yy.

Man kan nå betrakte denne bølgen fra det bevegelige intertialsystemet som beveger seg med hastighet v langs x-aksen. Den fjerner seg altså fra lyskilden. Forandringen av fasen kan finnes ved å innføre de Lorentz-transformerte uttrykkene for t og x. Det gir

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t=\gamma k_{x}(x'+vt')+k_{y}y-\omega \gamma (t'+vx'/c^{2})}$ 

Dette kan skrives som k'⋅x' - ω' t'  hvis man innfører de transformerte størrelsene

${\displaystyle \omega '=\gamma (\omega -vk_{x})\,,\;\;\;k_{x}'=\gamma (k_{x}-v\omega /c^{2})}$ 

sammen med k'_y = k_y da den transverse koordinaten y forblir uforandret. I det bevegelige referansesystemet ser man derfor også en plan lysbølge, men med litt andre verdier for frekvens og bølgevektor. Dette gir opphav til den relativistiske Doppler-effekten.^[2]

Sammenligner man transformasjonen av disse komponentene med transformasjonen av den firedimensjonale posisjonsvektoren x^μ = (ct, x, y, z), ser man at de tilsvarer en Lorentztransformasjon av en firervektor med komponenter k^μ = (ω/c, k_x, k_y, k_z). Denne kan derfor betraktes som bølgevektoren i Minkowski-rommet.

Fasen S = k⋅x - ωt for en elektromagnetisk bølge inneholder informasjon om hvor mange bølgetopper passerer hvert punkt i tidrommet. Dette tallet må være det samme uansett hvilket referansesystem man velger å bruke. Mer spesifikt sier man at det er Lorentz-invariant da det ikke forandrer seg under Lorentz-transformasjoner. I dette spesielle tilfellet var det jo akkurat dette som ble benyttet for å finne firevektoren k^μ.

Man kan nå skrive denne invariante størrelsen på en mer kompakt måte som et skalart vektorprodukt S = - k⋅x definert som

${\displaystyle k\cdot x=\eta _{\mu \nu }k^{\mu }x^{\nu }=k^{0}x^{0}-k_{x}x-k_{y}y-k_{z}z=\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }$ 

Her er igjen Einsteins summekonvensjon benyttet hvor man nå summerer over to like indekser. Det nye symbolet η_μν kalles Minkowski-metrikken, hvor de eneste komponentene forskjellig fra null er η₀₀ = +1 og η₁₁ = η₂₂ = η₃₃ = - 1. Under en Lorentz-transformasjon forandres dette til

${\displaystyle k\cdot x=\eta _{\sigma '\rho '}k^{\sigma '}\!x^{\rho '}=\eta _{\sigma '\rho '}\Lambda _{\;\;\mu }^{\sigma '}\Lambda _{\;\;\nu }^{\rho '}k^{\mu }x^{\nu }}$ 

Men produktet er invariant slik at samtidig må k⋅x = η_μνk^μx^ν. For at begge uttrykkene skal holde, må derfor transformasjonsmatrisen oppfylle

${\displaystyle \eta _{\sigma '\rho '}\Lambda _{\;\;\mu }^{\sigma '}\Lambda _{\;\;\nu }^{\rho '}=\eta _{\mu \nu }}$ 

Minkowski-metrikken transformerer med to Λ-matriser, noe som definerer den å være en tensor med to indekser. Dette er en meget spesiell tensor da den sees å være invariant under Lorentz-transformasjoner. Den er den samme i alle inertialsystem. Andre tensorer vil ha komponenter som i alminnelighet forandrer seg.

Kvadratet av lengden til en vilkårlig firevektor V med komponenter V^μ defineres nå som

${\displaystyle |V|^{2}=V\cdot V=\eta _{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }}$ 

som i praksis ofte blir skrevet på forenklet form V². For den firedimensjonale bølgevektoren har man derfor at k² = (ω/c)² - k² = 0. Dette skyldes at elektromagnetiske bølger beveger seg med lyshastigheten.^[3]

Det invariante produktet k⋅x kan også skrives som

${\displaystyle k\cdot x=k_{\mu }x^{\mu }=k^{\nu }x_{\nu }}$ 

når man definerer de kovariante komponentene til firevektorene ved x_μ = η_μνx^ν = (ct,-x,-y,-z) og k_μ = η_μνk^ν = (ω/c,-k_x,-k_y,-k_z). Samtidig sier Lorentz-invarians at man kan skrive k⋅x = k_μ' x^μ' slik at de kovariante komponentene må transformere som

${\displaystyle k_{\mu '}=k_{\nu }(\Lambda ^{-1})_{\;\mu '}^{\nu }}$ 

De transformerer altså motsatt av de kontravariante komponentene og inngår i en horisontal rekkematrise. Slik sett hadde det vært en fordel om man historisk hadde definert begrepene kontravariant og kovariant med motsatt betydning.

Gradienter i tre dimensjoner er gitt ved nabla-operatoren ∇ med komponenter ∂_i = ∂ /∂ x_i . I Minkowskirommet kan man tilsvarende definere en firedimensjonal gradientoperator med kovariante komponenter ∂_μ = ∂ /∂ x^μ = (∂ /∂ ct,∇ ). Gradienten av et skalart felt Φ = Φ(x) har dermed komponentene ∂_μΦ som transformerer som

${\displaystyle {\partial \Phi \over \partial x^{\mu '}}={\partial \Phi \over \partial x^{\nu }}{\partial x^{\nu } \over \partial x^{\mu '}}}$ 

De inngår derfor i en kovariant vektor da de partiellderiverte ∂x^μ'/∂x^ν = Λ^μ'_ν og ∂x^ν/∂x^μ' = (Λ^-1)^ν_μ'  utgjør transformasjonsmatrisene.

Likedan kan man definere de kontravariante komponentene av denne gradienten ved ∂_μ = η_μν∂^ν. Disse opptrer i den 4-dimensjonale Laplace-operatoren

${\displaystyle \partial ^{2}=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }={1 \over c^{2}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-{\boldsymbol {\nabla }}^{2}}$ 

som ofte kalles for d'Alembert-operatoren og opptrer i bølgeligningen.^[3]

To forskjellige hendelser P og Q i Minkowski-rommet vil ha en separasjon gitt ved firervektoren Δx = x_P - x_Q. I et visst inertialsystem har den komponentene Δx^μ = xμ
P - xμ
Q og en kvadrert størrelse gitt ved

${\displaystyle \Delta x^{2}=\eta _{\mu \nu }\Delta x^{\mu }\Delta x^{\nu }}$ 

Den har samme verdi i alle andre inertialsystemer og definerer det som kalles Lorentz-invariant intervall i tidrommet.

Hvis de to hendelsene kan forbindes med et lyssignal slik at c(t_P - t_Q) = |x_P - x_Q |, så vil derfor Δx² = 0 være null for alle observatører. De to hendelsene sies da å ha en lyslik separasjon, og de ligger på en rett linje som danner 45° med aksene til Minkowski-diagrammet. Er derimot Δx² < 0, så vil det finnes et referansesystem hvor t'_P = t'_Q slik at hendelsene opptrer samtidig. Separasjonen mellom dem er da romlik.^[1]

Den siste muligheten er at Δx² > 0. Da finnes det er inertialsystem hvor |x_P - x_Q | = 0  slik at hendelsene skjer på samme sted. De er bare separert med en tidsdifferans Δτ = t'_P - t'_Q som kalles egentiden til observatøren på dette stedet. I dette tilfellet er Δx² = c²Δτ², og separasjonen sies å være tidlik. Beveger denne spesielle observatøren seg med hastighet v = (x_P - x_Q)/(t_P - t_Q) når han observeres med sin klokke fra et annet referansesystem, så vil forandringen i hans egentid være

${\displaystyle \Delta \tau =\Delta t{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ 

hvor nå Δt = t_P - t_Q er tidsdifferansen mellom de to hendelsene i dette generelle referansesystemet. Denne sammenhengen er hva som ligger til grunn for tidsdilatasjonen i den spesielle relativitetsteorien.

Når separasjonen mellom de to hendelsene blir infinitesemal liten slik at Δx^μ → dx^μ, bestemmer det kvadrerte intervallet eller linjeelementet

${\displaystyle ds^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$ 

for den differensielle buelengden i Minkowski-rommet. Det er ekvivalent med innholdet av den metriske tensor. Når linjeelementet er tidlikt, det vil si når ds² > 0, tilsvarer det en differensiell forandring dτ = ds/c av egentiden til en observatør. Denne beskrivelsen kan tas nesten direkte over til generell relativitetsteori for et krummet tidsrom, men hvor i man i hvert lite område kan bruke den spesielle teorien.

I ikke-relativistisk mekanikk er hastigheten til en partikkel med posisjonsvektor x = x(t) som varierer med tiden t, definert som vektoren v = dx/dt. Har partikkelen en masse m, er dens bevegelsesmengde eller impuls p = mv. Ifølge Newtons andre lov er denne konstant hvis partikkelen ikke påvirkes av noen ytre krefter.

Disse begrepene kan nå tas inn i en relativistisk teori ved å benytte definisjonene på en kovariant måte i Minkowski-rommet. Posisjonen til partikkelen i dette 4-dimensjonale rommet er gitt ved en firevektor x = x(τ) som varier med egentiden τ til partikkelen. Man kan tenke seg dette som tiden avlest på en klokke som følger med partikkelen i dens bevegelse. På komponentform har man da x^μ = x^μ(τ). Dette tillater nå å definere firehastigheten til partikkelen som u = dx/dτ med komponenter

${\displaystyle u^{\mu }={dx^{\mu } \over d\tau }}$ 

At dette virkelig er en firevektor er en direkte konsekvens av at dx^μ transformerer som en firevektor samtidig som dτ er Lorentz-invariant. Denne nye vektoren har nå lengde

${\displaystyle u^{2}=u\cdot u=\eta _{\mu \nu }{dx^{\mu } \over d\tau }{dx^{\nu } \over d\tau }={\Big (}{ds \over d\tau }{\Big )}^{2}=c^{2}}$ 

som alltid er den samme. Uttrykker man egentiden ved partikkelens 3-hastighet v, ser man at komponentene til firehastigheten er u^μ = γ(c,v) hvor γ er Lorentz-faktoren. I partikkelens hvilesystem er komponentene u^μ' = c(1,0,0,0).

Multipliseres u med partikkelens masse m, får man en ny firevektor p = mu med komponenter p^μ = (E/c, p). Nullte komponent inneholder den relativistiske energien

${\displaystyle E={mc^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=mc^{2}+{m \over 2}v^{2}+{3m \over 8c^{2}}v^{4}+\cdots \;,}$ 

og de romlige komponentene gir den relativistiske 3-impulsen

${\displaystyle \mathbf {p} ={m\mathbf {v} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\;.}$ 

Hastigheten er derfor gitt som v = pc²/E. Ved lave energier v << c kjenner man igjen den kinetiske energien mv²/2 pluss hvileenergien mc². Denne kommer automatisk frem i den kovariante formuleringen av relativitetsteorien og utgjør masseenergiloven.

Da u² = c² følger at fireimpulsen har en konstant lengde p² = (mc)². Derfor oppfyller de relativistiske komponentene relasjonen

${\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$ 

som også sjekkes lett ved direkte innsetting. Dette generelle uttrykket for energien til en relativistisk partikkel er av stor praktisk betydning i partikkelfysikk hvor man studerer kollisjoner mellom høyenergetiske elementærpartikler. En masseløs partikkel har energien E = pc, for eksempel et foton.

En massiv partikkel har i sitt hvilesystem energien E = mc². Dette er Einsteins kanskje mest berømte ligning som noen ganger kalles masseenergiloven. Energien i en masse kan omvandles direkte til elektromagnetisk stråling. Dette skjer når for eksempel Higgs-partikkelen henfaller til to fotoner, H → γ + γ. Det var i denne prosessen partikkelen for første gang ble sett. Den har en masse omtrent lik m = 126 GeV/c² som betyr at hvert foton kommer ut med en energi på 63 GeV når de observeres i Higgs-partikkelens hvilesystem.

Et foton har fireimpulsen med p komponenter p^μ = (E/c, p) hvor E = |p|c. Komponentene vil avhenge av hvilket referansesystem de blir observert i. Energien er i alminnelighet gitt ved nullte komponent p⁰. En observatør i bevegelse vil derfor observere dette fotonet med frekvensen E' = u⋅p hvor u = γ(c,v) er hans firerhastighet. Utregnet gir dette skalare produktet

${\displaystyle E'={1-\mathbf {n} \cdot \mathbf {v} /c \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,E}$ 

hvor vektoren n = p/p gir retningen til fotonet. Dette er i overensstemmelse med formelen for den generelle, relativistiske Doppler-forskyvningen av frekvensen ω = E/ħ hvor ħ = h/2π  er den reduserte Plancks konstant.

 

Ved Compton-spredning sendes et foton med 4-bølgevektor k = (ω/c, k) mot et elektron som man kan anta ligger i ro. Dette blir slått til siden, mens fotonet fortsetter i en ny retning som danner vinkelen θ med retningen til det innkommende fotonet. Det har derfor en ny 4-bølgevektor k'  = (ω'/c, k'). Elektronet som opprinnelig ligger i ro, har på samme måte firerimpulsen p = (mc,0), mens elektronet som blir slått til siden, har p'  = (E'/c, p').

Bevarelse av energi og 3-impuls i prosessen tilsvarer nå at den totale 4-impulsen er den samme før og etter kollisjonen. Det vil si at ħk + p = ħk' + p' . Selv om man ikke kjenner retningen til det spredte elektronet, så vil alltid p'⋅p' = m²c². Derfor må også (ħk - ħk' + p)² = m²c². Regner man her ut kvadratet og bruker at p² = m²c², mens k² = k'² = 0, forenkles dette til p⋅(k - k') = ħk⋅k' . Her er nå p⋅(k - k') = m(ω - ω'), mens k⋅k' = ωω' (1 - cosθ)/c². Uttrykkes resultatet ved bølgelengden λ = 2 π c/ω til fotonet, kan dette skrives som

${\displaystyle \lambda '-\lambda ={h \over mc}{\Big (}1-\cos \theta {\Big )}}$ 

som er Comptons formel. Det spredte fotonet har lengre bølgelengde enn det innkommende fordi det har tapt litt energi til elektronet som ble slått til siden. Det var dette eksperimentet som ga det endelig bevis for at fotonet virkelig kunne betraktes som en vanlig partikkel med en bestemt energi E = hν og impuls p = h/λ som først klargjort av Einstein.^[4]

I ikke-relativistisk fysikk gir kraften F som virker på en partikkel, forandringen i impulsen p. Dette er uttrykt ved Newtons 2. lov F = dp/dt hvor impulsen p = mv er proporsjonal med 3-hastigheten v. Det viser seg hensiktsmessig å definere 3-kraften på samme måte også for en relativistisk partikkel hvor impulsen har en annen avhengighet av hastigheten. En kraft som virker på en partikkel, forandrer dens energi. For en relativistisk partikkel er denne forandringen

${\displaystyle {d \over dt}{\Big (}{mc^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}{\Big )}=\mathbf {v} \cdot {d \over dt}{\Big (}{m\mathbf {v} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}{\Big )}=\mathbf {v} \cdot {d\mathbf {p} \over dt}}$ 

Det betyr at dE/dt = v⋅F er effekten som kraften produserer. Dette er akkurat den sammenhengen man ønsker seg fra ikke-relativistisk fysikk.

På samme måte som 4-hastigheten u = dx/dτ = γ(c,v) ble tidligere definert for en partikkel med 3-hastighet v, kan man definere en 4-kraft K = dp/dτ  med komponenter

${\displaystyle K^{\mu }={d \over d\tau }(E/c,\mathbf {p} )=\gamma (\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} /c,\mathbf {F} )}$ 

Nullte komponent inneholder altså informasjon om arbeidet kraften utfører på partikkelen. Ved direkte utregning ser man at u⋅K = γ²(v⋅F - v⋅F) = 0. Dette er ikke uventet da produktet er null i referansesystemet hvor partikkelen har null 3-hastighet.

Komponentene til 4-kraften i andre inertialsystem kan nå finnes ved bruk av Lorentz-transformasjonen. For eksempel, for en partikkel som ligger i ro, vil man i dens hvilesystem ha K^μ' = (0, F'). Hvis nå dette hvilesystemet beveger seg med hastigheten v langs x-aksen, vil kraften i dette systemet ha komponenten K_L = γ K'_L hvor indeksen L står for longitudinal, dvs. langs x-aksen. Nå er samtidig K = γF slik at den longitudinale 3-kraften blir uforandret, F_L = F'_L. De transverse komponentene av 4-kraften forblir derimot uforandret, slik at de to transverse komponentene av 3-kraften transformerer som F_T = F'_T/γ og derfor redusert i størrelse.^[2]

Disse to transformasjonsligningene kan i dette viktige tilfellet sammenfattes som

${\displaystyle F_{L}=F'_{L}\;,\;\;\;F_{T}=F'_{T}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ 

Sammenlignet med ikke-relativistisk mekanikk, ser man at korreksjonene opptrer først til andre orden i v/c. De er derfor under normale forhold helt neglisjerbare. I alminnelighet transformerer disse komponentene til kraften på en mer komplisert måte som kan bli utledet fra den mer generelle Lorentz-transformasjonen.

Da man kan skrive firerimpulsen som p = mu hvor u = dx/dτ er firehastigheten, er firerkraften K = mdu/dτ hvor a = du/dτ er firerakselerasjonen til partikkelen. Den har komponentene a^μ = γ(cdγ/dt, dγv/dt) hvor nå dγ/dt = (γ³/c²)v⋅dv/dt finnes ved direkte derivasjon. De romlige komponentene kan regnes ut på samme måte med det endelige resulatatet

${\displaystyle a^{\mu }=\gamma ^{2}{\Big (}{\gamma ^{2} \over c}\mathbf {v} \cdot {d\mathbf {v} \over dt},{d\mathbf {v} \over dt}+{\gamma ^{2} \over c^{2}}\mathbf {v} \cdot {d\mathbf {v} \over dt}\mathbf {v} {\Big )}}$ 

for fireakselerasjonen. I den ikke-relativistiske grensen v << c finner man igjen som forventet kun den romlige komponenten a = dv/dt.

Fra uttrykket for firerakselerasjonen ser man at den avhenger av den vanlige akselerasjonen a = dv/dt, men også av 3-hastigheten v = dx/dt. I relativistisk mekanikk er det derfor ikke lenger så opplagt hva man mener med konstant akselerasjon i et referansesystem hvor partikkelens hastighet øker veldig raskt. Derimot kan dette entydig gjøres ved å gå til partikkelens momentane hvilesystem. Dette er et inertialsystem som beveger seg parallelt med partikkelen i et kort øyeblikk og hvorfra den synes i det øyeblikket å være i ro. I disse spesielle referansesystemene har partikkelen ingen hastighet, kun en konstant akselerasjon som man kan kalle g. Et konkret bilde på denne situasjonen er en rakett som blir skutt ut i en gitt retning. Den beveger seg med en slik hastighet at de ombord hele tiden opplever en konstant akselerasjon g som trykker dem ned i stolene hele tiden med samme kraft.

Denne kraften virker langs bevegelsen og er derfor en longitudinal kraft F'_L = mg i dette instantane hvilesystemet. Bruker man da transformasjonen for kraften til det stasjonære referansesystemet finner man der også F_L = mg. I dette systemet gjelder derfor ganske enkelt bevegelsesloven dp/dt = mdγv/dt = mg eller

${\displaystyle {d \over dt}{v \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=g}$ 

Hvis hastigheten v = 0 når tiden t = 0, gir denne ligningen med en gang at v = gt/√(1 + (gt/c)²).^[2] Tidlig i bevegelsen når t << c/g, øker hastigheten derfor som v = gt som for vanlig, ikke-relativistisk bevegelse. Senere, etter at t >> c/g, nærmer hastigheten v seg lyshastigheten c, men vil aldri overstige denne. Hvis man igjen tenker seg en rakett hvor man velger g = 9,81 m/s² for å ha det like behagelig som på jorden, er tiden c/g = 0,97 år.

Fra den funne hastigheten v = dx/dt kan man nå beregne avstanden x til raketten. Ved en enkel integrasjon finnes den å være

${\displaystyle x={c^{2} \over g}{\sqrt {1+(gt/c)^{2}}}+k}$ 

hvor konstanten k angir posisjonen x₀ = c²/g + k ved starten som skjer når t = 0. Like etterpå når t << c/g øker avstanden til raketten som x = gt²/2 + x₀ som for ikke-relativistisk bevegelse. Mye senere er x = ct + k etter at raketten har nådd omtrent lyshastigen. Til alle tider gjelder ligningen

${\displaystyle (x-k)^{2}-(ct)^{2}={c^{4} \over g^{2}}}$ 

som viser at bevegelsen beskriver en hyperbel i et Minkowski-rom med koordinater x og ct.

Dette blir mer tydelig når man beregner egentiden for observatøren ombord i raketten. Mens tiden t er målt i det stasjonære systemet på bakken, forandrer egentiden ombord seg med dτ = dt√(1 - (v/c)²). Hvis disse to klokkene startes samtidig når raketten tar av ved tiden t = 0, kan nå egentiden beregnes fra den funne hastigheten. Det gir sammenhengen

${\displaystyle t={c \over g}\sinh {g\tau \over c}}$ 

som innsatt i hyperbelligningen gir x = (c²/g) cosh gτ/c + k. Hvis mannskapet ombord har reist i 5 år ifølge sine egne klokker, har de sett fra jorden vært ute og reist i 75 år og kommet nesten 75 lysår ut i verdensrommet. Snur de da om og returnerer, er de selv blitt 10 år eldre når de er tilbake, mens de på jorden er blitt 150 år eldre og neppe i live lenger. Dette er igjen ikke noe annet enn et eksempel på tidsdilatasjon som er så typisk for all relativistisk bevegelse.

I ikke-relativistisk fysikk følger bevegelseslovene fra et virkningsprinsipp. Disse kan ikke uten videre generaliseres til også å gjelde for relativistiske system. Men for å være i overensstemmelse med relativitetsteorien, må virkningen være invariant under Lorentz-transformasjoner. Bortsett fra dette kravet, må et kovariant virkningsprinsipp konstrueres på en slik måte at det først gir resultat som kan utledes på annen måte for de enkleste tilfellene. Dette blir da et spørsmål om å finne den riktige Lagrange-funksjonen. Denne kan så utvides for å beskrive mer kompliserte system eller vekselvirkninger.

Lagrange-funksjonen L for en fri partikkel er identisk med den kinetiske energien T = (1/2)mv² hvor v = dx/dt er dens hastighet. Den klassiske bevegelsen er gitt ved en ekstremalverdi av virkningen S = ∫Ldt som kan beregnes ved variasjonsregning. Man betrakter da alle veier eller baner for partikkelen mellom to gitte punkt i 4-rommet, det vil si mellom to gitte punkt i 3-rommet og samtidig gitte tidspunkt for start og slutt. Den klassiske bevegelsen tilsvarer da den med minimal (eller maksimal) virkning. Langs alle varierte veier skal partikkelen bruke like lang tid. Den vil derfor måtte ha forskjellig hastighet og derfor også energi, langs de varierte veiene da de har forskjellig lengde.

Denne Langrange-funksjonen kan nå gjøres kovariant ved å utvide den til L = (m/2)u⋅u hvor u = dx/dτ er partikkelens firehastighet. Dette er i overensstemmelse med det ønske at p = ∂ L/∂ u = mu skal være fireimpulsen som i ikke-relativistisk Lagrange-mekanikk. Uttrykt ved komponentene til firehastigheten er derfor den kovariante Lagrange-funksjonen^[5]

${\displaystyle L={m \over 2}\eta _{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}$ 

og fireimpulsen p_μ = ∂ L/∂ u^μ = mη_μνu^ν = mu_μ. Dette er akkurat de egenskaper man ønsker denne konstruksjonen skal ha.

Virkningen som skal ekstremaliseres, er nå S = ∫Ldτ hvor τ foreløbig må betraktes som en parameter for de forskjellige veiene i det tilsvarende variasjonsproblemet. Det gir som alltid Euler-Lagrange-ligningen

${\displaystyle {\partial L \over \partial x^{\mu }}-{d \over d\tau }{\partial L \over \partial u^{\mu }}=0}$ 

I dette enkle tilfellet med en fri partikkel er det første leddet her null. Koordinatkomponentene x^μ er syklisk og derfor er impulskomponentene p_μ bevegelseskonstanter. De representerer løsningen av bevegelsesligningen i overensstemmelse med hva man forventet. Langs denne klassiske banen er derfor også p² = p⋅p = η_μνp^νp^ν = m² konstant. Men man skal merke seg at langs de varierte banene er partikkelen virtuell og har ingen veldefinert masse gitt som kvadratet av fireimpulsen.

Parameteren τ er også en syklisk variabel. Fra samme variasjonsregning følger da at H = p⋅u - L er en bevegelseskonstant langs den klassiske banen. Her blir H = p²/2m = m/2 og tilsvarer vanlig energi i det ikke-relativistiske tilfellet. Men på samme måte som energien da ikke er veldefinert langs de varierte banene som inngår i Hamiltons virkningsprinsipp, er heller ikke massen til partikkelen veldefinert langs de varierte banene i det relativistiske tilfellet.

Slik sett er det litt forvirrende å la parameteren m inngå i den kovariante Lagrange-funksjonen. Den kunne vært definert som L = (1/2)u² hvor u = dx/dλ og λ er en vilkårlig parameter. Da ville den bevarte fireimpulsen bli p = u = dx/dλ. For den klassiske banen er p² en bevegelseskonstant som man kunne definere som den kvadrerte massen, det vil si p² = m². For denne spesielle banen er derfor egentiden gitt som τ = mλ. For fotonet som er masseløst og derfor heller ikke har noen egentid, er denne fremgangsmåten nødvendig.

For en fri partikkel med 3-impuls p = mv = mdx/dt er Maupertuis' virkning W = ∫p⋅dx. Den klassiske bevegelsen er gitt ved en ekstremalverdi av virkningen for baner mellom to gitte punkt i 3-rommet slik at langs alle slike veier skal partikkelen ha samme energi. Den vil derfor bruke forskjellig tid langs de varierte veiene da de har forskjellig lengde.^[6]

Dette virkningsprinsippet kan nå gjøres kovariant ved å utvide virkningen til W = - ∫p⋅dx = - ∫p_μdx^μ. Her er p = mu = mdx/dτ  fireimpulsen til partikkelen og τ en parameter som er egentiden for den klassiske bevegelsen. Denne virkningen er nå Lorentz-invariant. I stedet for at de varierte veiene skal ha samme energi som i det ikke-relativistiske tilfellet, må de nå ha samme masse. Det vil si at alle må ha u² = c² = konst. Denne forenklingen kan man ikke gjøres med det kovariante Hamilton-prinsippet.

Virkningen til Maupertuis, som kan skrives som W = -∫ p_μdx^μ= -m∫ u_μu^μdτ, forenkles da til

${\displaystyle W=-mc^{2}\!\int \!d\tau =-mc^{2}\!\int \!dt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ 

Integranden her kan nå betraktes som en vanlig Lagrange-funksjon L som kan benyttes i Hamiltons virkningsprinsipp. Den medfører at 3-impulsen p = ∂ L/∂ v blir

${\displaystyle \mathbf {p} ={m\mathbf {v} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$ 

Dette betyr igjen at den relativistiske energien eller Hamilton-funksjonen er

${\displaystyle E=\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} -L={mc^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\sqrt {m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}}$ 

Dette stemmer med hva som følger direkte fra sammenhengen p^μ = mu^μ mellom firevektorene fra Hamiltons prinsipp. Energien er da gitt ved E = mcu⁰ = mc²dt/dτ = mc²/√(1 - v²/c²) og tilsvarende for 3-impulsen.

Fotonet har masse m = 0 og har derfor en bevegelse som ikke kan beregnes fra dette kovariante virkningsprinsippet. Man skulle ikke forundres over dette da denne partikkelen er et kvant og derfor ikke kan beskrives ved klassisk mekanikk. I stedet må man da gå tilbake til Fermats prinsipp og eventuelle utvidelser av dette for å beregne gangen til en lysstråle.

Maxwells ligninger var utgangspunktet for relativitetsteorien og er kovariante under Lorentz-transformasjoner. En ladet partikkel med ladningen q kobler til det elektriske potensialet Φ = Φ(r,t) og det magnetiske potensialet A = A(r,t) som beskrevet i klassisk elektrodynamikk.^[7] Generelt varierer disse med tiden t og posisjonen r til partikkelen. I Lagrange-funksjonen er denne vekselvirkningen inneholdt i leddet

${\displaystyle L_{int}=-q\Phi (\mathbf {r} ,t)+q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$ 

hvor v = d r/dt er 3-hastigheten til partikkelen. Denne delen av Lagrange-funksjonen er invariant under elektromagnetiske gaugetransformasjoner. Den også relativistisk invariant som blir tydelig når man innfører firehastigheten til partikkelen med komponenter u^μ = dx^μ/dτ = γ(c,v). Dermed kan den tilsvarende virkningen skrives som

${\displaystyle W_{int}=-q\!\int \!d\tau u^{\mu }A_{\mu }}$ 

ved samtidig å benytte det elektromagnetiske firepotensialet med komponenter A^μ = (Φ/c, A). Vekselvirkningen har derfor meget spesielle egenskaper og ble første gang systematisk benyttet av Karl Schwarzschild i 1903, det vil si to år før Einstein utviklet sin spesielle relativitetsteori.^[8]

Den fulle virkningen til Maupertuis for en relativistisk partikkel som beveger seg i et elektromagnetisk felt, blir nå

${\displaystyle W=-\!\int \!d\tau (mc^{2}+qu\cdot A)}$ 

Herfra kan så bevegelsesligningen utledes på vanlig måte fra den effektive Lagrange-funksjonen

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}-q(\Phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )}$ 

Først må den nye, kanoniske impulsen p = ∂ L/∂ v finnes. Den blir

${\displaystyle \mathbf {p} ={m\mathbf {v} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\mathbf {A} }$ 

I Euler-Lagrange-ligningen dp/dt = ∂ L/∂ x behøver man nå på høyre side

${\displaystyle {\partial L \over \partial \mathbf {x} }=-q{\boldsymbol {\nabla }}\Phi +q{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} ),}$ 

mens på venstre side inngår den totalderiverte

${\displaystyle {d\mathbf {A} \over dt}={\partial \mathbf {A} \over \partial t}+(\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} }$ 

Etter en omordning av de forskjellige termene i ligningen og bruk av vektoridentiteten

${\displaystyle \mathbf {v} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-(\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,}$ 

kan dette skrives som

${\displaystyle {d \over dt}{m\mathbf {v} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$ 

Her opptrer nå det elektriske feltet E = -∇Φ - ∂ A/∂ t og det magnetiske feltet B = ∇ × A. Den totale kraften på høyresiden av denne bevegelsesligningen er Lorentz-kraften. Den eneste forskjell fra det ikke-relativistiske tilfellet er at den relativistiske impulsen inngår på venstre side av ligningen.

Energien eller Hamilton-funksjonen til partikkelen er som alltid gitt ved E = p⋅v - L hvor hastigheten nå må uttrykkes ved den kanoniske impulsen p,

${\displaystyle \mathbf {v} ={c(\mathbf {p} -q\mathbf {A} ) \over {\sqrt {m^{2}c^{2}+(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}}}}$ 

Innsatt gir dette

${\displaystyle E={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}}+q\Phi }$ 

hvor første ledd er den relativistiske, kinetiske energien til partikkelen og den siste termen representerer den potensielle energien. Ved lave hastigheter går dette over i det ikke-relativistiske resultatet.

En ekvivalent bevegelsesligning kan finnes fra den kovariante Lagrange-funksjonen som inngår i Hamiltons prinsipp. Den inneholder nå koblingen til det elektromagnetiske feltet og tar den kompakte formen L = (m/2)u² + qu⋅A. Uttrykt ved komponentene er den

${\displaystyle L={m \over 2}\eta _{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }+qu^{\nu }A_{\nu }}$ 

I Euler-Lagrange-ligningen dp_μ/dτ = ∂ L/∂ x^μ inngår den kanoniske fireimpulsen p = ∂ L/∂ u = mu + qA. Derfor er

${\displaystyle {dp_{\mu } \over d\tau }=m{du_{\mu } \over d\tau }+q{\partial A_{\mu } \over \partial x^{\nu }}u^{\nu }}$ 

Likedan er ∂ L/∂ x^μ = q(∂ A_ν/∂ x^μ)u^ν slik at bevegelsesligningen blir

${\displaystyle m{du_{\mu } \over d\tau }=q{\Big (}{\partial A_{\nu } \over \partial x^{\mu }}-{\partial A_{\mu } \over \partial x^{\nu }}{\Big )}u^{\nu }}$ 

Her opptrer den kovariante tensoren F_μν = ∂_μA_ν - ∂_νA_μ med komponenter

${\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$ 

Den er tydelig antisymmetrisk, F_μν = - F_νμ og bærer vanligvis navnet til Michael Faraday. De kontravariante komponentene F^μν = η^μση^νρF_σρ finnes ved å skifte fortegn på de elektriske komponentene i matrisen.^[9]

Bevegelsesligningen kan nå skrives mer kompakt som mdu^μ/dτ = qF^μνu_ν . På høyre siden opptrer nå den elektromagnetiske firekraft hvis romlige komponenter er Lorentz-kraften. Nullte komponent inneholder arbeidet qv⋅E som det elektriske feltet utfører på partikkelen. Den magnetiske kraften kan ikke utføre noe arbeid da den alltid står vinkelrett på hastigheten v.

I denne betraktningen er fremdeles parameteren τ en syklisk variabel som betyr at det finnes en kovariant Hamilton-funksjon som er en bevegelseskonstant. Som for den frie partikkelen, kan den finnes direkte fra at firehastigheten u = (p - qA)/m langs den klassiske banen oppfyller u² = c². Skrevet ut på komponentform gir dette ligningen

${\displaystyle (E-q\Phi )^{2}=m^{2}c^{4}+c^{2}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}$ ,

Tar man kvadratroten her, fremkommer den relativistiske energien som tidligere. Den eneste forskjellen er at i denne kovariante utledningen opptrer også en kvadratrot med negativt fortegn. En slik løsning er uakseptabel i klassisk fysikk. Derimot i relativistisk kvantemekanikk beskrevet ved Klein-Gordon-ligningen eller Dirac-ligningen beskriver disse løsningene antipartikler.^[10]

De elektromagnetiske feltene E(x,t) og B(x,t) er komponenter av den antisymmetriske Faraday-tensoren F^μν. På samme måte som energi og impuls til en partikkel, vil disse forandres under en Lorentz-transformasjon.^[11] Denne er generelt gitt som

${\displaystyle F^{\mu '\nu '}=\Lambda _{\;\;\mu }^{\mu '}\Lambda _{\;\;\nu }^{\nu '}F^{\mu \nu }}$ 

Hvis transformasjonen går fra det umerkete referansesystemet til et med merkete indekser og som beveger seg langs x-aksen med konstant hastighet v, er komponentene i transformasjonsmatrisen Λ^t'_t = Λ^x'_x = γ, Λ^t'_x = Λ^x'_t = -γv/c  sammen med Λ^y'_y = Λ^z'_z = 1. Ved en direkte, men noe omstendelig utregning finner man da de transformerte feltene

${\displaystyle {\begin{aligned}E'_{x}&=E_{x}&\qquad B'_{x}&=B_{x}\\E'_{y}&=\gamma \left(E_{y}-vB_{z}\right)&B'_{y}&=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\right)\\E'_{z}&=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)&B'_{z}&=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right).\\\end{aligned}}}$ 

Et rent magnetisk felt i det umerkete systemet vil derfor observeres som et litt annet magnetfelt i det merkete systemet pluss et nytt, elektrisk felt. Dette er forklaring av bevegelsesindusert, elektromotorisk spenning i en leder som er i ro dette systemet.^[3]

Fra de samme transformasjonsligningene følger også at en elektrisk ladning som ligger i ro i det merkete systemet og der gir opphav til et rent, elektrisk felt, vil også skape et magnetfelt når ladningen observeres i det umerkete systemet. På denne måten fremkommer Biot-Savarts lov som gir sammenhengen mellom en elektrisk strøm og det magnetiske feltet som den skaper.

Biot-Savarts lov for magnetfeltet som en ladning i bevegelse skaper, er bare gyldig når den beveger seg mye langsommere enn lyshastigheten c. Men ved hjelp av transformasjonsligningene kan man nå også beregne dette feltet for vilkårlige verdier av ledningens hastighet. Da overgangen fra det merkete til det umerkete systemet tilsvarer den inverse transformasjonen, tilsvarer det å la hastigheten v skifte fortegn.

I det merkete systemet er det elektriske feltet utenfor en ladning q gitt ifølge Coulombs lov som

${\displaystyle \mathbf {E'} (\mathbf {r'} )={q\,\mathbf {r'} \over 4\pi \varepsilon _{0}r'^{3}}}$ 

når det observeres i et punkt r' = (x' , y' , z' ). Feltet er sfærisk symmetrisk og avtar på samme måte med kvadratet av avstanden i alle retninger.

De tilsvarende komponentene av feltet kan nå beregnes når de observeres i det umerkete systemet. Den longitudinale komponenten langs hastigheten blir nå

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{x}&=E'_{x}={q\,x' \over 4\pi \varepsilon _{0}(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}\\&={q\,\gamma (x-vt) \over 4\pi \varepsilon _{0}[\gamma ^{2}(x-vt)^{2}+y^{2}+z^{2}]^{3/2}}\end{aligned}}}$ 

Tilsvarende kan man kombinere de to transverse komponentene i y- og z-retning i vektoren E_T = (E_y, E_z) = γ E'_T  som dermed blir

${\displaystyle \mathbf {E} _{T}={q\gamma \,\mathbf {x} _{T} \over 4\pi \varepsilon _{0}[\gamma ^{2}(x-vt)^{2}+y^{2}+z^{2}]^{3/2}}}$ 

der den transverse vektoren x_T = (y, z). Det transformerte Coulomb-feltet varierer derfor med tiden, det vil si med posisjonen til ladningen. Men det er ikke lenger sfærisk symmetrisk som det er i hvilesystemet.^[12]

Det kan man tydeliggjøre ved å betrakte feltet i det umerkete systemet ved tiden t = 0. Hvordan det ser ut ved andre tidspunkt, vil da finnes ved en enkel forskyvning av feltkonfigurasjonen langs x-aksen. Ved dette spesielle tidspunktet kan man nå skrive x = r cosθ  og x_T = r sinθ  hvor vinkelen θ  angir retningen til feltpunktet målt fra x-aksen. Nå blir

${\displaystyle \gamma ^{2}x^{2}+y^{2}+z^{2}=\gamma ^{2}r^{2}{\big (}1-{v^{2} \over c^{2}}\sin ^{2}\theta {\big )}}$ 

slik at alle komponentene til feltet kan sammenfattes i uttrykket

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t=0)={q(1-v^{2}/c^{2})\mathbf {r} \over 4\pi \varepsilon _{0}r^{3}[1-(v^{2}/c^{2})\sin ^{2}\theta ]^{3/2}}}$ 

Styrken av det elektriske feltet fra ladningen er fremdeles omvendt proporsjonalt med kvadratet av avstanden r, men i tillegg er det nå kommet inn en retningsavhengighet gitt ved vinkelen θ. Dette er en relativistisk effekt og betyr at de transversale komponentene blir større enn den longitudinale komponenten langs x-aksen. Uttrykt ved de tilsvarende feltlinjene betyr det at de blir trykket sammen vinkelrett på bevegelsesretningen til ladningen slik at de antar en skivelignende form etter som hastigheten øker.^[9]

I tillegg til det elektriske feltet E som observerer i det umerkete systemet, vil det også være et magnetisk felt B der. Det har en longitudinal komponent B_x = 0  og to transverse komponenter som utgjør vektoren B_T = (B_y, B_z)   og gitt som

${\displaystyle \mathbf {B} _{T}={\gamma \over c^{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {E'} _{T}={1 \over c^{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} _{T}}$ 

Da den longitudinale komponenten er null, har man derfor ganske enkelt B = v × E/c²  for hele det magnetiske feltet i det umerkete systemet. Det varierer også med tiden og følger med ladningen og dens elektriske felt etter som den beveger seg med hastighet v.

I den ikke-relativistiske grensen v << c der man kan sette Lorentz-faktoren γ = 1, tar magnetfeltet den enkle formen

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\mu _{0}q \over 4\pi r^{3}}\mathbf {v} \times \mathbf {r} (t)}$ 

der posisjonen til ladningen er gitt ved vektoren r(t) = (x - vt, y, z)  og man benytter sammenhengen 1/c² = ε₀μ₀  for lyshastigheten. Dette uttrykket for magnetfeltet som en ladning i bevegelse skaper, er Biot-Savarts lov.^[11]

Tyngdekraften ble av Einstein forklart som en krumning av rommet som gir opphav til en ikke-triviell metrikk g_μν  = g_μν(x) som beskriver gravitasjonsfeltet. Denne erstatter Minkowski-metrikken η_μν  i et flatt tidrom. Ekvivalensprinsippet sier at i hvert lite område i et slikt krumt rom, kan det opprettes et lokalt Minkowski-rom hvor igjen fysikken er styrt av den spesielle relativitetsteorien. Det betyr i praksis at hvis en fysisk lov er skrevet på kovariant form slik at den er invariant under lokale Lorentz-transformasjoner, kan den generaliseres til å være gyldig i et gravitasjonsfelt ved å la metrikken η_μν → g_μν  samtidig som de partiellderiverte ∂_μ erstattes med de kovariant deriverte ∇_μ .

Det differensielle linjeelementet i Minkowski-rommet ds² = c²dτ² vil dermed erstattes av

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }(x)dx^{\mu }dx^{\nu }}$ 

i et krumt rom med gravitasjonsfelt g_μν(x) . På samme måte blir den kovariante Lagrange-funksjonen for en partikkel

${\displaystyle L={m \over 2}g_{\mu \nu }(x)u^{\mu }u^{\nu }}$ 

hvor u^μ = dx^μ/dτ er komponentene til firerhastigheten. Den konjugerte firerimpulsen har kovariante komponenter p_μ = ∂ L/∂ u^μ = mg_μνu^ν og fremdeles er p² = m²g_μνu^μu^ν = m²c² en bevegelseskonstant.^[7]

Euler-Lagrange-ligningen dp_λ/dτ = ∂ L/∂ x^λ gjelder også i et krumt rom da den kommer fra det samme virkningsprinsippet. Her er ∂ L/∂ x^λ = (m/2)(∂ g_μν/∂ x^λ)u^μu^ν, mens

${\displaystyle {dp_{\lambda } \over d\tau }=mg_{\lambda \mu }{du^{\mu } \over d\tau }+m{\partial g_{\lambda \mu } \over \partial x^{\nu }}u^{\mu }u^{\nu }=mg_{\lambda \mu }{du^{\mu } \over d\tau }+{m \over 2}{\Big (}{\partial g_{\lambda \mu } \over \partial x^{\nu }}+{\partial g_{\lambda \nu } \over \partial x^{\mu }}{\Big )}u^{\mu }u^{\nu }}$ 

når man i siste ledd bruker at både μ og ν er summasjonsindekser. Ligningen kan skrives på standard form ved å multiplisere med den kontravariante metrikken g^σλ på begge sider av ligningen. Det gir resultatet

${\displaystyle {du^{\sigma } \over d\tau }+\Gamma _{\;\mu \nu }^{\sigma }u^{\mu }u^{\nu }=0}$ 

etter å ha brukt at g^σλg_λμ = δ^σ_μ og innført Christoffel-symbolet

${\displaystyle \Gamma _{\;\mu \nu }^{\sigma }={1 \over 2}g^{\sigma \lambda }{\Big (}{\partial g_{\lambda \mu } \over \partial x^{\nu }}+{\partial g_{\lambda \nu } \over \partial x^{\mu }}-{\partial g_{\mu \nu } \over \partial x^{\lambda }}{\Big )}}$ 

som er sentralt i riemanns differensialgeometri. Den funne bevegelsesligningen for den relativistiske partikkelen er også ligningen for en geodetisk kurve i det krumme, 4-dimensjonale tidrommet formet av gravitasjonsfeltet. Denne sammenhengen ville være mer tydelig hvis virkningen til Maupertuis i stedet hadde blitt brukt. Den kan skrives som W = - mc∫ ds og viser at en ekstremalverdi for virkningen tilsvarer en ekstremalverdi for linjelengden S = ∫ ds i dette rommet.^[5]

• M. Born, Einstein's Theory of Relativity, Dover Publications, New York (1962).
• E. F. Taylor and J. A. Wheeler, Spacetime Physics, W. H. Freeman and Company, San Francisco (1963).
• R. Resnick, Introduction to Special Relativity, John Wiley & Sons, New York (1968).

• «Kovariansprinsippet», fra Store norske leksikon
• «Lorentztransformasjoner», fra Store norske leksikon