Hilbert-rom

La ${\displaystyle V}$ være et vektorrom over ${\displaystyle \mathbb {C} }$  (evt. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ). Et indreprodukt på ${\displaystyle V}$  er en funksjon ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to \mathbb {C} }$  slik at

1. (Positivitet) ${\displaystyle \langle v,v\rangle \geq 0}$  for alle ${\displaystyle v\in V}$  med likhet hvis og bare hvis ${\displaystyle v=0}$ ;
2. (Additivitet i hver variabel) ${\displaystyle \langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle }$  for alle ${\displaystyle u,v,w\in V}$ ;
3. (Linearitet i første variabel) ${\displaystyle \langle \alpha u,v\rangle =\alpha \langle u,v,\rangle }$  for alle ${\displaystyle u,v\in V}$  og ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ ;
4. (Antisymmetri) ${\displaystyle \langle v,u\rangle ={\overline {\langle u,v\rangle }}}$  for alle ${\displaystyle u,v\in V}$ .

Et vektorrom utstyrt med et indreprodukt kalles et indreproduktrom. To umiddelbare konsekvenser av definisjonen er at

1. (Antilinearitet i andre variabel) ${\displaystyle \langle u,\alpha v\rangle ={\bar {\alpha }}\langle u,v\rangle }$  for alle ${\displaystyle u,v\in V}$  og ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ ;
2. (Additivitet i andre variabel) ${\displaystyle \langle u,v+w\rangle =\langle u,v\rangle +\langle u,w\rangle }$  for alle ${\displaystyle u,v,w\in V}$ .

Definisjonen tilpasset enklet til vektorrom over reelle tall ved å fjerne alle konjugasjoner.

Det er enkelt å sjekke at et indreprodukt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to \mathbb {C} }$  induserer en norm ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert :V\to \mathbb {R} }$  på ${\displaystyle V}$  gitt ved ${\displaystyle \lVert v\rVert ={\sqrt {\langle v,v\rangle }}}$  for alle ${\displaystyle v\in V}$ . Et indreproduktrom kalles et Hilbert-rom hvis det er et komplett metrisk rom med hensyn på denne normen.

Det n-dimensjonale euklidske rommet ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  er et Hilbert-rom under indreproduktet gitt ved ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\sum _{j=1}^{n}x_{j}y_{j}}$  for ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n}),\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ , som kalles det euklidske indreproduktet. Tilsvarende er ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$  et indreproduktrom under det hermitiske indreproduktet gitt ved ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\overline {y_{j}}}}$  for ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n}),\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ .

Mengden ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )={\bigg \{}\mathbf {x} =(x_{n})_{n=1}^{\infty }:\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{2}<\infty {\bigg \}}}$  av kvadratsummerbare følger av komplekse tall er et Hilbert-rom med indreprodukt gitt ved ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y_{n}}}\ }$ for ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n=1}^{\infty },\mathbf {y} =(y_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ .

La ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$  være et målrom. Man definerer rommet av kvadratintegrerbare funksjoner ved

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu )={\bigg \{}f\colon X\to \mathbb {C} :f{\text{ er }}{\mathcal {A}}{\text{-målbar og }}\int _{X}|f|^{2}\,d\mu <\infty {\bigg \}}.}$ 

Man kan forsøksvis definere et indreprodukt på ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$  ved ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}fg\,d\mu }$ , men denne funksjonen tilfredsstiller generelt ikke punkt 1 i definisjonen ovenfor da funksjoner som er 0 bortsett fra på en mengde av mål 0 vil få norm 0. Løsningen er å identifisere funksjoner som er like bortsett fra på en mengde av mål 0 og i steden studere det tilsvarende vektorrommet av ekvivalensklasser av funksjoner. Dette gjøres som følger: Definer en ekvivalensrelasjon ${\displaystyle \sim }$  på ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$  ved

${\displaystyle f\sim g\iff \mu (\{x\in X:f(x)\neq g(x)\})=0\quad {\text{for alle }}f,g\in {\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu ).}$ 

For ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$  lar vi ${\displaystyle [f]}$  betegne ekvivalensklassen til ${\displaystyle f}$ . Vi skriver ${\displaystyle L^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu )=\{[f]:f\in {\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu )\}}$ for mengden av slike, som arver en vektorromssstruktur fra ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$ . Vi kan nå definere et indreprodukt på ${\displaystyle L^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu )}$  ved ${\displaystyle \langle [f],[g]\rangle =\int _{X}fg\,d\mu }$  for ${\displaystyle [f],[g]\in L^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu ).}$ Riesz-Fischer-teoremet sier at dette rommet er komplett med hensyn på den induserte normen og således er et Hilbert-rom. Merk at forrige eksempel er et spesialtilfelle av denne konstruksjonen der det relevante målrommet er ${\displaystyle \mathbb {N} }$  med ${\displaystyle \sigma }$ -algebraen bestående av alle delmengder og tellemålet.

Et av de viktigste grunnleggende resultater om Hilbert-rom generelt er Riesz' representasjonsteorem.

(Riesz' representasjonsteorem). La ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$  være et Hilbert-rom over ${\displaystyle \mathbb {K} }$  (enten ${\displaystyle \mathbb {R} }$  eller ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ) og anta at ${\displaystyle \phi :{\mathcal {H}}\to \mathbb {K} }$  være en begrenset lineær funksjonal. Da finnes en unik vektor ${\displaystyle y\in {\mathcal {H}}}$  slik at ${\displaystyle \phi (x)=\langle x,y\rangle }$  for alle ${\displaystyle x\in {\mathcal {H}}.}$  Dessuten er ${\displaystyle \lVert y\rVert =\lVert \phi \rVert .}$ 

Riesz' representasjonsteoremet gir en antilineær isometrisk isomorfi mellom Hilbert-rommet ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$  og dualrommet ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$ .

•  (en) Hilbert space – kategori av bilder, video eller lyd på Commons