Eulervinkler

Eulervinkler er tre vinkler som ble innført av Leonhard Euler for å beskrive en stivt legeme sin orientering.^[1] For å beskrive en slik orientering i det 3-dimensionale euklidiske rommet kreves tre parametre. De kan angis på flere måte, og eulervinklar er et av dem. Eulervinklar brukes også for å beskrive orienteringen av en referanseramme (et koordinatsystem) relativt en annen. Vinklene betegnes oftest med de greske bokstavene alfa, beta, gamma (α, β, γ) eller phi, theta, psi (φ, θ, ψ).

Eulervinkler representerer en sekvens av tre elementære rotasjoner, det vil si rotasjoner rundt aksene i et koordinatsystem. For eksempel (se bildet)

1. En rotasjon rundt z-aksen med en vinkel α
2. En rotasjon rundt N-aksen (x'-aksen) med en vinkel β
3. En sist vri rundt z'-aksen med en vinkel γ

Disse rotasjonene er basert på en kjent standardorientering (høyre- eller venstreorientert koordinatsystem). I fysikk er den gitte standardorienteringen vanligvis representert av et ubevegelig (fast, globalt) koordinatsystem.

Enhver orientering kan oppnås ved en sekvens av tre elementære rotasjoner. Det roterte koordinatsystemet kan tenkes å være stivt festet til et stivt legeme. I dette tilfellet kalles det av og til et lokalt koordinatsystem.

Det er tolv mulige sekvenser av rotasjonsakser, delt inn i to grupper:

Klassiske eulervinkler:

z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y

Tait-Bryan-vinkler:

x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z

Av og til kalles også Tait-Bryan-vinkler for eulervinkler, men da skilles de i så fall fra den første gruppen med definisjonen klassiske eulervinkler.

Ved hjelp av eulervinkler kan for eksempel en rotert vinkelhastighetsvektor (uttrykt i det legemfikserte systemet) skrives som

${\displaystyle \omega _{x}'=\alpha \sin \beta \sin \gamma +\beta \cos \gamma }$

${\displaystyle \omega _{y}'=\alpha \sin \beta \cos \gamma -\beta \cos \gamma }$

${\displaystyle \omega _{z}'=\alpha \cos \beta +\gamma }$