Vekselvirkningsbildet

Vekselvirkningsbildet blir benyttet i kvantemekanikk og kvantefeltteori ved beregninger av egenskapene til vekselvirkende partikler. Det tillater en beskrivelse av en slik komplisert situasjon som om partiklene beveger seg fritt og uten vekselvirkninger.

En kvantemekanisk system av ikke-relativistiske partikler med gjensidige koblinger er i vekselvirkningsbildet ekvivalent med å benytte tidsavhengig perturbasjonsteori. Fordelen med en beskrivelse i vekselvirkningsbildet er mye større for relativistiske partikler da den tillater å behandle de vekselvirkende kvantefelttene som om de er frie. Deres kvantisering og bevegelse er dermed kjent og kan finnes fra de tilsvarende relativistiske feltligningene. For elektroner ville det da være Dirac-ligningen.

For vekselvirkende kvantefelt kan man på denne måten etablere en mer generell perturbasjonsteori. Til hver orden av de relevante koblingene mellom partiklene som opptrer, kan man uttrykke de forskjellige bidragene med Feynman-diagram. Disse kan matematisk beregnes basert på egenskapene til de frie feltene.

Det er denne fremgangsmåten som har gjort det mulig i kvanteelektrodynamikk å komme frem til resultat som er mer nøyaktige enn i noen annen teori. Likedan er dette grunnen for at standardmodellen kan gi en teoretisk forklaring på de eksperimentelt etablerte egenskapene ved alle elementærpartikler.

Bevegelsen til et kvantemekanisk system kan finnes fra den tidsavhengige Schrödinger-ligningen som dets tilstandsvektor ${\displaystyle |\Psi ,t\rangle }$ må oppfylle. Liigningens detaljerte form varierer fra system til system og kommer til uttrykk i dets Hamilton-operator ${\displaystyle {\hat {H}}.}$ Den inneholder systemets dynamiske variable som er operatorer og kan omtales som observable.^[1]

I den opprinnelige formuleringen til Schrödinger kunne operatorene betraktes som uavhengige av tiden. Systemets tidsutvikling er da samlet i tilstandsvektoren og man sier at det er beskrevet i «Schrödinger-bildet». Forventningsverdien

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle (t)=\langle \Psi ,t|{\hat {A}}|\Psi ,t\rangle }$

av en operator vil variere med tiden og skyldes systemets bevegelse slik det kan observeres. Hamilton-operatoren har nå ingen eksplisitt avhengighet av tiden. Schrödinger-ligningen er da ekvivalent med tidsutviklingen

${\displaystyle |\Psi ,t\rangle =e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\Psi \rangle }$

som bringer tilstandsvektoren fra et tidspunkt t = 0 til en ny vektor ved tiden t > 0. Hvis man kjenner den opprinnelige tilstanden til systemet, kan man i prinsippet finne den eksakte tilstanden ved alle senere tidspunkt. Den kvantemekaniske usikkerheten opptrer først i forventingsverdiene.^[2]

Noen få måneder før Schrödinger hadde lansert sin bølgemekanikk for kvantemekaniske system, hadde Heisenberg utviklet sin matrisemekanikk for de samme systemene. Spesielt Dirac viste snart at disse to formuleringene var ekvivalente.^[3]

Heisenbergs fremstilling var basert på operatorer som varierer med tiden og oppfyller bevegelsesligningen

${\displaystyle i\hbar {d{\hat {A}} \over dt}=[{\hat {A}},{\hat {H}}]}$

Når Hamilton-operatoren ${\displaystyle {\hat {H}}}$ er uavhengig av tiden, resulterer denne i tidsutviklingen

${\displaystyle {\hat {A}}(t)=e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {A}}\,e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$

av alle observable til systemet. I dette «Heisenberg-bildet» er dets tilstandsvektor ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ konstant slik at forventningsverdien

${\displaystyle \langle {\hat {A}}(t)\rangle =\langle \Psi |{\hat {A}}(t)|\Psi \rangle }$

til en operator er den samme som i Schrödinger-bildet. Begge fremstillingene eller «bildene» gir derfor samme svar, Hvilket av de to man skal benytte, avhenger vanligvis av hva slags system man betrakter og hvilke spørsmål som stilles. Men uansett hvilket bilde man benytter, vil det innebære å beregne egenverdiene og egenvektorene til Hamilton-operatoren for å kunne si noe om bevegelsen til systemet.^[4]

Etter som tiden varierer kan man betrakte tilstandvektoren for systemet som en vektor som roterer i Hilbert-rommet. Dens fysiske innhold kan avleses fra komponentene i et referansesystem med basisvektorer. I Schrödinger-bildet ligger dette fast, mens i Heisenberg-bildet roterer det med tilstandsvektoren slik at den synes å være uforanderlig.^[1]

Vekselvirkningsbildet gir en beskrivelse som er mellom disse to bildene. Det kommer til nytte når den totale Hamilton-operatoren kan splittes opp som ${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}}$ hvor den første delen kan betraktes som «fri» ved at dens egenverdier ${\displaystyle E_{n}}$ og egenvektorer ${\displaystyle |n\rangle }$ er kjente,

${\displaystyle {\hat {H}}_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle }$

Den resterende delen ${\displaystyle {\hat {V}}}$ som også kan være eksplisitt avhengig av tiden, gjør en eksakt beregning av tidsutviklingen til systemet umulig. Men man kan forenkle denne ved å isolere den delen som skyldes den frie Hamilton-operatoren. Hvis tilstandsvektoren i Schrödinger-bildet er ${\displaystyle |\Psi ,t\rangle ,}$ kan man definere den ekvivalente tilstandsvektoren

${\displaystyle |\Psi ,t\rangle _{I}=e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }|\Psi ,t\rangle }$

Ved å benytte Schrödinger-ligningen

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}|\Psi ,t\rangle ={\big (}{\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t){\big )}|\Psi ,t\rangle ,}$

kan nå bevegelsesligningen for denne nye tilstandsvektoren finnes. Den blir

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\partial \over \partial t}|\Psi ,t\rangle _{I}&={\big [}-{\hat {H}}_{0}e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }+e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }{\big (}{\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t){\big )}{\big ]}|\Psi ,t\rangle \\&={\hat {V}}_{I}(t)|\Psi ,t\rangle _{I}\end{aligned}}}$

hvor

${\displaystyle {\hat {V}}_{I}(t)=e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }\,{\hat {V}}(t)\,e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }}$

Tidsutviklingen til den nye tilstandsvektoren ${\displaystyle |\Psi ,t\rangle _{I}}$ er derfor gitt ved den perturbative delen ${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$ av Hamilton-operatoren. Da det er denne som inneholder de kompliserte vekselvirkningene til systemet, sies det nå å være beskrevet i «vekselvirkningsbildet». Enhver annen tidsuavhengig operator ${\displaystyle {\hat {A}}}$ som denne perturbasjonen måtte inneholde, vil på denne måten få en tilsvarende tidsutvikling

${\displaystyle {\hat {A}}_{I}(t)=e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }\,{\hat {A}}\,e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }}$

Forventningsverdien av operatoren blir

${\displaystyle _{I}\langle \Psi ,t|{\hat {A}}_{I}(t)|\Psi ,t\rangle _{I}=\langle \Psi ,t|{\hat {A}}|\Psi ,t\rangle }$

og er den samme som tidligere. Av denne grunn kan man betrakte vekselvirkningsbildet som en mellomting mellom Schrödinger-bildet og Heisenberg-bildet.^[2]

Egenvektorene til den frie Hamilton-operatoren ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ utgjør et fullstendig sett av basisvektorer i Hilbert-rommet. Tilstandsvektoren i vekselvirkningsbildet kan derfor skrives som

${\displaystyle |\Psi ,t\rangle _{I}=\sum _{n}c_{n}(t)|n\rangle }$

hvor koeffisienten ${\displaystyle c_{n}(t)}$ er sannsynlighetsamplituden for å finne systemet i tilstand ${\displaystyle |n\rangle }$ ved tiden t. Disse basisvektorene varierer ikke med tiden. Derfor gir bevegelsesligningen for tilstandsvektoren at disse amplitudene må oppfylle

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {dc_{m}(t) \over dt}&=\sum _{n}c_{n}(t)\langle m|{\hat {V}}_{I}(t)|n\rangle \\&=\sum _{n}c_{n}(t)\,e^{i(E_{m}-E_{n})t/\hbar }\langle m|{\hat {V}}(t)|n\rangle \end{aligned}}}$

etter at den er projisert inn på en basistilstand ${\displaystyle |m\rangle .}$ Dette er samme sett av koblete differensialligninger som opptrer i tidsavhengig perturbasjonsteori. Den ble utarbeidet av Paul Dirac i 1927 og er derfor ekvivalent med den senere bruk av vekselvirkningsbildet.

Man kan eksakt beregne tidsutviklingen av et system med to tilstander som blir utsatt for en harmonisk perturbasjon. Den frie Hamilton-operatoren kan da skrives som ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}=E_{1}|1\rangle \langle 1|+E_{2}|2\rangle \langle 2|,}$ mens perturbasjonen antas å ha formen

${\displaystyle {\hat {V}}(t)=\hbar a{\big (}e^{i\omega t}|1\rangle \langle 2|+e^{-i\omega t}|2\rangle \langle 1|{\big )}}$

Hvis man definerer ${\displaystyle \hbar \Delta =E_{2}-E_{1},}$ vil de to tilstandsamplitudene tilfredstille differensialligningene

${\displaystyle i{dc_{1} \over dt}=a\,e^{i(\omega -\Delta )t}c_{2},\quad i{dc_{2} \over dt}=a\,e^{-i(\omega -\Delta )t}c_{1}}$

Ved å derivere den siste etterfulgt med innsettelse av den første, fremkommer ligningen

${\displaystyle {d^{2}c_{2} \over dt^{2}}+i(\omega -\Delta ){dc_{2} \over dt}+a^{2}c_{2}=0}$

av andre orden. Den vil ha løsninger av formen ${\displaystyle c_{2}(t)\propto e^{iXt}}$ hvor eksponenten X  derfor må være en løsning av andregradsligningen

${\displaystyle X^{2}+X(\omega -\Delta )-a^{2}=0}$

De to løsningene kan skrives som ${\displaystyle X_{\pm }=-b\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ hvor ${\displaystyle b=(\omega -\Delta )/2.}$

Den generelle løsningen for amplituden ${\displaystyle c_{2}(t)}$ vil nå være kombinasjonen

${\displaystyle c_{2}(t)=A\,e^{iX_{+}t}+B\,e^{iX_{-}t}}$

hvor de to konstantene A  and B  bestemmes av begynnelsestilstanden. Hvis man derfor antar at systemet befinner seg i den nedre tilstanden med energi E₁ ved tiden t = 0, vil c₂(0) = 0 og dermed c₁(0) = 1. Det betyr at den deriverte dc₂/dt = - ia ved dette tidspunktet. På denne måten kommer man frem til løsningen

${\displaystyle c_{2}(t)=-i{a \over \Omega }e^{-ibt}\sin \Omega t}$

hvor ${\displaystyle \Omega ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+(\omega -\Delta )^{2}/4}}.}$ Sannsynligheten for å finne systemet i den øvre tilstanden ved et senere tidspunkt er derfor

${\displaystyle P_{2}(t)=|c_{2}(t)|^{2}={a^{2} \over \Omega ^{2}}\sin ^{2}\Omega t}$

og vil oscillere med frekvensen Ω. Tilsvarende vil sannsynligheten for at systemet befinner seg i nedre tilstand, være P₁(t ) = 1- P₂(t ). Disse sannsynlighetene blir større desto nærmere den påtrykte frekvensen ω  tilsvarer energidifferensen Δ. I det ekstreme tilfellet svinger de mellom 0 og 1 ved resonans når ω = Δ. For en svak perturbasjonen med amplitude a → 0, går dette resultatet over til hva man finner i laveste orden av tidsavhengig perturbasjonsteori.

Slike svingninger i kvantemekaniske to-nivå system ble først undersøkt av Isidor Rabi og spiller en avgjørende rolle i moderne bruk av magnetisk resonans.^[5]

En systematisk fremstilling av hvordan tilstandsvektoren generelt varierer med tiden i vekselvirkningsbildet kan etableres ved å definere en tidsutviklingsoperator ved sammenhengen

${\displaystyle |\Psi ,t\rangle _{I}={\hat {U}}(t,t_{0})|\Psi ,t_{0}\rangle _{I}}$

Den bringer tilstanden for systemet ved et tidspunkt t₀ til en ny tilstand ved et senere tidspunkt t > t₀. Herav følger at den må være unitær,

${\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }\!(t,t_{0}){\hat {U}}(t,t_{0})=1}$

Videre må operatoren oppfylle

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})={\hat {U}}(t,t_{1}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})}$

hvor samtidig man må ha ${\displaystyle {\hat {U}}(t,t)=1.}$ Det betyr at den inverse operator er ${\displaystyle {\hat {U}}^{-1}(t,t_{0})={\hat {U}}(t_{0},t).}$ Den hermitisk adjungerte operator er derfor

${\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }\!(t,t_{0})={\hat {U}}(t_{0},t)={\hat {U}}^{-1}(t,t_{0})}$

i overensstemmelse med at den er unitær.^[1]

Tidsutviklingsoperatoren kan finnes fra den fundamentale bevegelsesligning

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}|\Psi ,t\rangle _{I}={\hat {V}}_{I}(t)|\Psi ,t\rangle _{I}}$

i vekselvirkningsbildet. En integrasjon av denne gir den ekvivalente integralligningen

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1-{i \over \hbar }\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{1}{\hat {V}}_{I}(t_{1}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})}$

Den kan formelt løses iterativt ved først å benytte laveste ordens løsning ${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1}$ på høyre side av ligningen. Så kan den resulterende, første ordens løsning igjen benyttes på høyre side og slik kan man fortsette. Det gir «Dyson-serien»

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}(t,t_{0})&=1-{i \over \hbar }\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{1}{\hat {V}}_{I}(t_{1})\\&+\left(-{i \over \hbar }\right)^{2}\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{1}{\hat {V}}_{I}(t_{1})\int _{t_{0}}^{t_{1}}\!dt_{2}{\hat {V}}_{I}(t_{2})+\cdots \end{aligned}}}$

som kan benyttes i en perturbativ beregning hvis man antar at operatoren ${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$ har en forholdsvis svak virkning på systemets utvikling. Serien er oppkalt etter Freeman Dyson som benyttet den i kvanteelektrodynamikk for å vise at de to tilsynelatene forskjellige formuleringene til Julian Schwinger og Richard Feynman er de samme.^[6]

Istedenfor en uendelig lang serie med stadig mer kompliserte vekselvirkninger kan tidsutviklingsoperatoren skrives på en mye mer kompakt form ved å innføre en spesiell form for «tidsordning» mellom vekselvirkningsoperatorene som opptrer i den. Dette kan illustreres ved å betrakte leddet av andre orden. Det er det dobbelte integralet

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\!dt_{2}{\hat {V}}_{I}(t_{1}){\hat {V}}_{I}(t_{2})\\&=\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{2}\int _{t_{2}}^{t}\!dt_{1}{\hat {V}}_{I}(t_{1}){\hat {V}}_{I}(t_{2})\end{aligned}}}$

som fås ved å bytte om integrasjonsrekkefølgen. I tillegg kan man her bytte om navnene til de to integrasjonsvariable t₁ og t₂ som gir

${\displaystyle I=\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{1}\int _{t_{1}}^{t}\!dt_{2}{\hat {V}}_{I}(t_{2}){\hat {V}}_{I}(t_{1})}$

Ved å legge sammen disse to uttrykkene, har man dermed

${\displaystyle {\begin{aligned}2I&=\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\!dt_{2}{\hat {V}}_{I}(t_{1}){\hat {V}}_{I}(t_{2})+\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{1}\int _{t_{1}}^{t}\!dt_{2}{\hat {V}}_{I}(t_{2}){\hat {V}}_{I}(t_{1})\\&=\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{2}T\,{\hat {V}}_{I}(t_{1}){\hat {V}}_{I}(t_{2})\end{aligned}}}$

etter å ha innført tidsordningsoperatoren ${\displaystyle T.}$ Her virker den på to operatorer og er da definert ved at

${\displaystyle T\,{\hat {V}}_{I}(t_{1}){\hat {V}}_{I}(t_{2})=\left\{{\begin{matrix}{\hat {V}}_{I}(t_{1}){\hat {V}}_{I}(t_{2}),\quad t_{1}\geq t_{2}\\{\hat {V}}_{I}(t_{2}){\hat {V}}_{I}(t_{1}),\quad t_{1}<t_{2}\end{matrix}}\right.}$

og tilsvarende for produkt med flere faktorer. Dette gjør det mulig å omskrive den uendelige serien med ledd til

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}(t,t_{0})&=1-\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n!}\left(-{i \over \hbar }\right)^{n}\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}\!dt_{n}\\&\times T\,{\hat {V}}_{I}(t_{1}){\hat {V}}_{I}(t_{2})\cdots {\hat {V}}_{I}(t_{n})\\&=T\exp \left(-{i \over \hbar }\int _{t_{0}}^{t}\!dt'{\hat {V}}_{I}(t')\right)\end{aligned}}}$

Det er på denne formen at tidsutviklingsoperatoren benyttes i kvantefeltteori til å omforme hvert ledd i Dyson-serien til Feynman-diagram som kan beregnes etter veldefinerte regler.^[7]

Selv om tidsutviklingen av et kvantemekanisk system er deterministisk og gitt ved tidsutviklingsoperatoren, kan man likevel bare beregne en sannsynlighet for at systemet går over fra en tilstand til en annen. Hvis man antar at systemet ved tiden t₀ befinner seg i en egentilstand ${\displaystyle |n\rangle }$ til den frie Hamilton-operatoren ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ med egenverdi ${\displaystyle E_{n},}$ er

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{mn}&=\langle m|{\hat {U}}(t,t_{0})|n\rangle =\delta _{mn}-{i \over \hbar }\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{1}\langle m|{\hat {V}}_{I}(t_{1})|n\rangle \\&+\left(-{i \over \hbar }\right)^{2}\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\!dt_{2}\langle m|{\hat {V}}_{I}(t_{1}){\hat {V}}_{I}(t_{2})|n\rangle +\cdots \end{aligned}}}$

sannsynlighetsamplituden for at det skal befinne seg i en annen slik egentilstand ${\displaystyle |m\rangle }$ ved et senere tidspunkt t. Det første leddet er det samme som kommer fra tidsavhengig perturbasjonsteori. Det andre leddet kan man innsette et fullstendig sett med tilstander mellom de to vekselvirkningsoperatorene. Dermed blir

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{mn}&=\delta _{mn}-{i \over \hbar }\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{1}e^{i(E_{m}-E_{n})t/\hbar }V_{mn}(t)\\&+\left(-{i \over \hbar }\right)^{2}\sum _{m}\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\!dt_{2}\,e^{i(E_{m}-E_{k})t/\hbar }e^{i(E_{k}-E_{n})t/\hbar }V_{mk}(t_{1})V_{kn}(t_{2})+\cdots \end{aligned}}}$

hvor matriseelementene er definert ved ${\displaystyle V_{mn}(t)=\langle m|{\hat {V}}(t)|n\rangle }$. De forskjellige integrasjonene som opptrer her, må utføres på en kontrollert måte slike at tilstandene ved begynnelsen og slutten av overgangen er veldefinerte.^[8]

Når perturbasjonen ${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$ varierer harmonisk med tiden eller er konstant, kan integrasjonene i overgangsamplituden utføres. Spesiell interesse har da tidsutviklingen av den opprinnelige tilstanden. Den er gitt ved den diagonale overgangsamplituden. For en konstant perturbasjon er den gitt som

${\displaystyle S_{nn}=1-{i \over \hbar }\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{1}V_{nn}=1-{i \over \hbar }V_{nn}(t-t_{0})}$

til første orden. Dette kan tolkes som at tilstanden har fått en liten korreksjon ${\displaystyle \Delta E_{n}}$ til sin energi,

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-iE_{n}(t-t_{0})/\hbar }&\rightarrow e^{-i(E_{n}+\Delta E_{n})(t-t_{0})/\hbar }\\&=e^{-iE_{n}n(t-t_{0})/\hbar }{\big (}1-{i \over \hbar }\Delta E_{n}(t-t_{0})+\cdots {\big )}\end{aligned}}}$

Man har derfor ${\displaystyle \Delta E_{n}=V_{nn}}$ i overensstemmelse med statisk perturbasjonsteori i første orden.

Med en slik konstant perturbasjon, kan også andre ordens bidrag til overgangsamplituden regnes ut. Det gir det mer nøyaktige resultatet for energiforskyvningen

${\displaystyle \Delta E_{n}=V_{nn}+\sum _{k}{|V_{nk}|^{2} \over E_{n}-E_{k}+i\varepsilon }}$

hvor ε er en liten parameter som skal tas mot null. Dette er nødvendig for konvergens av integralene.^[9]

Summen over alle mellomtilstander inkluderer også bidraget fra den opprinnelige tilstanden ${\displaystyle |n\rangle .}$ Dette bidraget ser ut til å kunne divergere når ε → 0. Men å benytte oppsplittingen

${\displaystyle \sum _{k}{1 \over E_{n}-E_{k}+i\varepsilon }=\sum _{k\neq n}{1 \over E_{n}-E_{k}}-i\pi \delta (E_{n}-E_{k}),}$

blir dette problemet omgått. Den første delen av summen blir omtalt som dens «prinsipalverdi».^[2] På denne måten får energiforskyvningen en veldefinert realdel

${\displaystyle {\text{Re}}\Delta E_{n}=V_{nn}+\sum _{k\neq n}{|V_{nk}|^{2} \over E_{n}-E_{k}}}$

som stemmer med resultatet fra andre ordens statisk perturbasjonsteori. Imaginærdelen kan skrives som ${\displaystyle {\text{Im}}\Delta E_{n}=-\hbar \Gamma _{n}/2}$ og er gitt ved summen

${\displaystyle \Gamma _{n}={2\pi \over \hbar }\sum _{k\neq n}|V_{nk}|^{2}\delta (E_{n}-E_{k}).}$

Hvert ledd består av overgangssannsynligheten per tidsenhet fra den gitte tillstanden ${\displaystyle |n\rangle }$ til en vilkårlig annen tilstand ${\displaystyle |k\rangle .}$ Summen er derfor et utrykk for at den opprinnelige tilstanden vil forandre seg. Denne variasjonen vil manifestere seg i dens bølgefunksjon som

${\displaystyle e^{-iE_{n}t/\hbar }\rightarrow e^{-i(E_{n}+{\text{Re}}\Delta E_{n})t/\hbar }e^{-\Gamma _{n}t/2}}$

Sannsynligheten for at systemet skal forbli i samme tilstand, avtar derfor eksponensielt med tiden som ${\displaystyle e^{-\Gamma _{n}t}.}$ Den har en midlere levetid ${\displaystyle \tau _{n}=1/\Gamma _{n}}$ som kan måles på forskjellige måter. Mest direkte kommer dette til uttrykk ved at energinivået ${\displaystyle E_{n}}$ ikke lenger synes å ha en skarp verdi. For eksempel vil en spektrallinje som fremkommer ved absorpsjon eller emisjon av lys, få en «linjebredde» som skyldes at den tilsvarende kvantetilstanden ikke er helt stabil.^[9]

En kvantemekanisk beskrivelse av partikler som spredes mot et konstant potensial, kan fremstilles på en oversiktlig måte i vekselvirkningsbildet. Man tenker seg at partiklene ved et tidlig tidspunkt t₀ → - ∞ er langt fra hverandre. De befinner seg da i en fri tilstand ${\displaystyle |i\rangle =|\Psi ,-\infty \rangle _{I}}$ som er en egentilstand av den frie Hamilton-operatoren ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ med energi ${\displaystyle E_{i}.}$ Denne tillstanden utvikler seg videre mot en komplisert tilstand ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ ved tiden t = 0 da vekselvirkingen med potensialet skjer. For å kunne beregne spredningstverrsnittet for prosessen, må man bestemme amplituden ${\displaystyle S_{fi}}$ for at partiklene ved et mye senere tidspunkt t → + ∞ befinner seg i en annen, fri tilstand ${\displaystyle |f\rangle =|\Psi ,+\infty \rangle _{I}}$ som også er en egenvektor for den frie Hamilton-operatoren.^[2]

Tidsutviklingen av dette systemet i vekselvirkningsbildet følger nå fra den generelle sammenhengen

${\displaystyle |\Psi ,t\rangle _{I}=|\Psi ,t_{0}\rangle _{I}-{i \over \hbar }\int _{t_{0}}^{t}\!dt_{1}{\hat {V}}_{I}(t_{1})|\Psi ,t_{1}\rangle _{I}}$

som gir

${\displaystyle |\psi _{i}\rangle =|i\rangle -{i \over \hbar }\int _{-\infty }^{0}\!dt_{1}\,e^{i{\hat {H}}_{0}t_{1}/\hbar }\,{\hat {V}}\,e^{-i{\hat {H}}_{0}t_{1}/\hbar }|\Psi ,t_{1}\rangle _{I}}$

På høyre side inngår tilstanden ${\displaystyle |\Psi ,t_{1}\rangle _{I}}$ for t₁ < 0. I laveste approksimasjon kan man sette denne lik den innkommende tilstanden ${\displaystyle |i\rangle .}$ Da blir

${\displaystyle |\psi _{i}\rangle =|i\rangle -{i \over \hbar }\int _{-\infty }^{0}\!dt\,e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }\,{\hat {V}}\,e^{-iE_{i}t/\hbar }|i\rangle }$

Integralet konvergerer ikke i nedre grense. Man erstatter det derfor med

${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}\!dt\,e^{\varepsilon t/\hbar }e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }\,e^{-iE_{i}t/\hbar }={i\hbar \over E_{i}-{\hat {H}}_{0}+i\varepsilon }}$

hvor ε → 0 til slutt. Dette er partikkelens Green-operator som representerer dens propagator. Til laveste, ikke-trivielle orden i vekselvirkningen har man dermed

${\displaystyle |\psi _{i}\rangle =|i\rangle +{1 \over E_{i}-{\hat {H}}_{0}+i\varepsilon }{\hat {V}}|i\rangle +\cdots }$

Ved å benytte denne approksimative løsningen på høyre side i ligningen, får man den uendelig rekken

${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi _{i}\rangle &=|i\rangle +{1 \over E_{i}-{\hat {H}}_{0}+i\varepsilon }{\hat {V}}|i\rangle \\&+{1 \over E_{i}-{\hat {H}}_{0}+i\varepsilon }{\hat {V}}{1 \over E_{i}-{\hat {H}}_{0}+i\varepsilon }{\hat {V}}|i\rangle +\cdots \end{aligned}}}$

Den gjør en perturbativ beregning av den spredte tilstanden ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ mulig når potensialet er tilstrekkelig svakt.^[8]

Resultatet for den vekselvirkende tilstanden kan skrives mer kompakt som

${\displaystyle |\psi _{i}\rangle =|i\rangle +{1 \over E_{i}-{\hat {H}}_{0}+i\varepsilon }{\hat {V}}|\psi _{i}\rangle }$

og kalles for den første «Lippmann-Schwinger-ligningen». Det er en implisitt ligning for den spredte tilstanden da den opptrer på begge sider av den.^[8]

Et eksplitt uttrykk for denne tilstanden kan finnes ved å gjøre bruk av identiteten

${\displaystyle {1 \over {\hat {A}}}+{1 \over {\hat {A}}}{\hat {B}}{1 \over {\hat {A}}}+{1 \over {\hat {A}}}{\hat {B}}{1 \over {\hat {A}}}{\hat {B}}{1 \over {\hat {A}}}+\cdots ={1 \over {\hat {A}}-{\hat {B}}}}$

for den inverse av operatoren ${\displaystyle {\hat {A}}-{\hat {B}}.}$ Det verifiseres ved at

${\displaystyle ({\hat {A}}-{\hat {B}}){1 \over {\hat {A}}-{\hat {B}}}=1-{\hat {B}}{1 \over {\hat {A}}}+{\hat {B}}{1 \over {\hat {A}}}-{\hat {B}}{1 \over {\hat {A}}}{\hat {B}}{1 \over {\hat {A}}}+\cdots }$

hvor hvert operatorledd blir kansellert av det følgende leddet. Dermed har man den andre Lippmann-Schwinger-ligningen

${\displaystyle |\psi _{i}\rangle =|i\rangle +{1 \over E_{i}-{\hat {H}}+i\varepsilon }{\hat {V}}|i\rangle }$

hvor ${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}}$ er den fullstendige Hamilton-operatoren. Den vekselvirkende tilstanden ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ er en egentilstand til denne operatoren,

${\displaystyle {\begin{aligned}(E_{i}-{\hat {H}})|\psi _{i}\rangle &=(E_{i}-{\hat {H}}_{0}-{\hat {V}})|i\rangle +{\hat {V}}|i\rangle \\&=-{\hat {V}}|i\rangle +{\hat {V}}|i\rangle =0\end{aligned}}.}$

Det er en konsekvens av at den totale energien er bevart ved spredning mot et statisk potensial.^[9]

Sannsynlighetsamplituden for å gå fra en fri tilstand ${\displaystyle |i\rangle }$ ved tiden t₀ → - ∞ til en fri tilstand ${\displaystyle |f\rangle }$ ved tiden t → + ∞ er

${\displaystyle S_{fi}=\langle f|{\hat {U}}(\infty ,-\infty )|i\rangle }$

Disse amplitudene kan betraktes som elementene til en matrise som representerer en «spredningsoperator»

${\displaystyle {\hat {S}}={\hat {U}}(\infty ,-\infty )}$

og blir omtalt som «S-matrisen». Navnet kan føres tilbake til Heisenberg som prøvde å bygge opp en funndamental teori for elementærpartikler kun basert på de observasjoner som kan gjøres etter at de har vekselvirket og derfor opptrer som frie igjen.^[6]

Fra den generelle formen til tidsutviklingsoperatoren i vekselvirkningsbildet er

${\displaystyle {\hat {U}}(+\infty ,-\infty )=1-{i \over \hbar }\int _{-\infty }^{\infty }\!dt'\,{\hat {V}}_{I}(t'){\hat {U}}(t',-\infty )}$

hvor ${\displaystyle {\hat {U}}(t',-\infty )={\hat {U}}(t',0){\hat {U}}(0,-\infty )}$ ut fra definisjonen. Den første faktoren her kan utledes fra egenskapen at vekselvirkningen ${\displaystyle {\hat {V}}}$ er tidsuavhengig. Da har også den totale Hamilton-operatoren ${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}}$ den egenskapen. En tilstand i Schödinger-bildet varierer dermed som ${\displaystyle |\Psi ,t\rangle =\exp(-i{\hat {H}}t/\hbar )|\Psi ,0\rangle .}$ I vekselvirkningsbildet tilsvarer det at ${\displaystyle |\Psi ,t\rangle _{I}=\exp(i{\hat {H_{0}}}t/\hbar )\exp(-i{\hat {H}}t/\hbar )|\Psi ,0\rangle }$ eller

${\displaystyle {\hat {U}}(t,0)=e^{i{\hat {H_{0}}}t/\hbar }e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$

Spredningsamplituuden blir dermed

${\displaystyle S_{fi}=\langle f|i\rangle -{i \over \hbar }\int _{-\infty }^{\infty }\!dt'\langle f|e^{i{\hat {H_{0}}}t'/\hbar }{\hat {V}}\,e^{-i{\hat {H}}t'/\hbar }|\psi _{i}\rangle }$

når man benytter at ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle ={\hat {U}}(0,-\infty )|i\rangle .}$ Denne vekselvirkende tilstanden er en egentilstand for Hamilton-operatoren ${\displaystyle {\hat {H}}}$ med egenverdi ${\displaystyle E_{i}.}$ Derfor blir

${\displaystyle S_{fi}=\delta _{fi}-{i \over \hbar }\int _{-\infty }^{\infty }\!dt'\,e^{i(E_{f}-E_{i})t'/\hbar }\langle f|{\hat {V}}|\psi _{i}\rangle }$

Ved å definere «overgangsmatriseelementet»

${\displaystyle T_{fi}=\langle f|{\hat {V}}|\psi _{i}\rangle =V_{fi}+\sum _{k}{V_{fk}V_{ki} \over E_{i}-E_{k}+i\varepsilon }+\cdots }$

som er uavhengig av tiden, har man dermed for S-matriseelementet

${\displaystyle S_{fi}=\delta _{fi}-2\pi iT_{fi}\,\delta (E_{f}-E_{i})}$

Herav følger sannsynlligheten per tidsenhet for en overgang fra tilstanden ${\displaystyle |i\rangle }$ til slutttilstander ${\displaystyle |f\rangle }$ som

${\displaystyle \Gamma _{fi}={2\pi \over \hbar }|T_{fi}|^{2}\delta (E_{f}-E_{i})}$

på samme måte som i tidsavhengig parturbasjonsteori. Bortsett fra det generelle overgangsmatriseelementet, er dette et uttrykk for Fermis gyldne regel. Vanligvis finnes det mange slutttilstander med nærliggende energier slik at den fulle overgangshastigheten innnebærer en sum over disse.^[7]

De innkommende partiklene er frie og beskrevet ved Hamilton-operatoren ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}={\hat {\mathbf {p} }}^{2}/2m.}$ Hvis de har impuls ${\displaystyle \mathbf {p} ,}$ er de derfor beskrevet ved begynnelsestilstanden ${\displaystyle |\mathbf {p} \rangle }$ med energi ${\displaystyle E=\mathbf {p} ^{2}/2m.}$ Den spredte tilstanden vil da være en løsning av Lippmann-Schwinger-ligningen

${\displaystyle |\psi _{\mathbf {p} }\rangle =|\mathbf {p} \rangle +{1 \over E-{\hat {H}}_{0}+i\varepsilon }{\hat {V}}|\psi _{\mathbf {p} }\rangle }$

Den tilsvarende sannsynligheetsamplituden for at partikkelen skal finnes i punktet x, er den spredte bølgefunksjonen ${\displaystyle \psi _{\mathbf {p} }(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} |\psi _{\mathbf {p} }.\rangle }$ Derfor må denne oppfylle

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\mathbf {p} }(\mathbf {x} )&=\langle \mathbf {x} |\mathbf {p} \rangle +\langle \mathbf {x} |{1 \over E-{\hat {H}}_{0}+i\varepsilon }{\hat {V}}|\psi _{\mathbf {p} }\rangle \\&=e^{i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} /\hbar }+\int \!d^{3}x'G_{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ';E)\langle \mathbf {x'} |{\hat {V}}|\psi _{\mathbf {p} }\rangle \end{aligned}}}$

Her inneholder integralet matriseelementet

${\displaystyle G_{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ';E)=\langle \mathbf {x} |{1 \over E-{\hat {H}}_{0}+i\varepsilon }|\mathbf {x'} \rangle }$

som er den statiske Green-funksjonen til den frie partikkelen. Det er den kvantemekaniske amplituden for at partikkelen skal bevege seg fra punktet x' til x når den har energi E og er direkte forbundet med dens propagator. Lippmann-Schwinger-ligningen kan derfor skrives som

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\mathbf {p} }(\mathbf {x} )&=e^{i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} /\hbar }+\int \!d^{3}x'G_{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ';E)V(\mathbf {x} ')e^{i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} '/\hbar }\\&+\int \!d^{3}x'\!\int \!d^{3}x''G_{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ';E)V(\mathbf {x} ')G_{0}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} '';E)V(\mathbf {x} '')e^{i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} ''/\hbar }+\cdots \end{aligned}}}$

etter iterasjon på høyresiden. Det første leddet er bølgefunksjonen for den innkommende partikkelen, mens det andre leddet gir amplituden for at partikkelen spredes mot potensialet i punktet ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ og så propagerer videre til ${\displaystyle \mathbf {x} }$. I det tredje leddet inngår en spredning i punktet ${\displaystyle \mathbf {x} '',}$ så en fri bevegelse frem til punktet ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ hvor partikkelen foretar enda en spredning før den fortsetter fritt til ${\displaystyle \mathbf {x} .}$ Den totale overgangsamplituden kan derfor betraktes som en sum over delamplituder som hver inneholder en sikk-sakk-vei mellom ěn eller flere enkeltspredninger. Dette kalles for en «Born-serie» etter Max Born som var den første som beskrev spredning av partikler i kvantemekanikken.^[10]

Hvert ledd i Born-serien kan beregnes når man kjenner den frie propagatoren ${\displaystyle G_{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ';E).}$ Ved å sett inn et fullstendig sett med impulsegentilstander ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}|\mathbf {k} \rangle =\mathbf {k} |\mathbf {k} \rangle }$ i dens definisjon, blir

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ';E)&=\int \!{d^{3}k \over (2\pi \hbar )^{3}}\langle \mathbf {x} |{1 \over E-{\hat {\mathbf {p} }}^{2}/2m+i\varepsilon }|\mathbf {k} \rangle \langle \mathbf {k} |\mathbf {x'} \rangle \\&=\int \!{d^{3}k \over (2\pi \hbar )^{3}}{2m \over p^{2}-k^{2}+i\varepsilon '}e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')/\hbar }\end{aligned}}}$

etter å ha satt ${\displaystyle E=p^{2}/2m.}$ Integralet kan utregnes på lignende måte som Yukawa-potensialet og gir

${\displaystyle G_{0}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ';E)=-{2m \over \hbar ^{2}}{e^{ip|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|/\hbar } \over 4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}$

For et tilstrekkelig svakt potensial kan man beholde kun det første, ikke-trivielle leddet i Born-serien. Når potensialet i tillegg har en begrenset rekkevidde, kan man anta at deteksjonspunktet x for den spredte partikkelen er langt fra området x' hvor potensialet bidrar til integralet. Da kan man sette

${\displaystyle |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|=r-\mathbf {p'} \cdot \mathbf {x'} }$

med god nøyaktighet hvor ${\displaystyle r=|\mathbf {x} |}$ og ${\displaystyle \mathbf {p'} =p\mathbf {x} /r.}$ I denne laveste Born-approksimasjonen tar dermed den spredte bølgefunksjonen formen

${\displaystyle \psi _{\mathbf {p} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} /\hbar }+{e^{ipr/\hbar } \over r}f(\mathbf {Q} )}$

hvor det andre leddet er en utgående kulebølge. Dens styrke er gitt ved spredningsamplituden

${\displaystyle f(\mathbf {Q} )=-{m \over 2\pi \hbar ^{2}}\int \!d^{3}x'V(\mathbf {x} ')e^{-i\mathbf {Q} \cdot \mathbf {x} '/\hbar }}$

hvor ${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {p} '-\mathbf {p} }$ gir forandringen av impulsen til partikkelen. Dette er i overensstemmelse med hva man finner i laveste orden av vanlig perturbasjonsteori.^[9]

• A. Maloney, Interaction picture and Dyson series, Youtube video

• D. Tong, Interacting Fields, lectures at University of Cambridge.