Banach-rom

Et Banach-rom er i matematikk et komplett normert vektorrom. Banach-rom er blant de viktigste studieobjektene i funksjonalanalyse. At rommet er komplett vil si at alle Cauchy-følger konvergerer mot en grense som er inneholdt i rommet.

De endeligdimensjonale vektorrommene ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ og ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$er alle Banach-rom. Mer generelt er alle Hilbert-rom også Banach-rom under normen indusert av det aktuelle indreproduktet. Et eksempel på et Banach-rom som ikke er et Hilbert-rom er

${\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {N} )=\left\{(x_{n})_{n=1}^{\infty }:\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|<\infty \right\}.}$

Et normert rom er et Banach-rom hvis og bare hvis alle absolutt konvergente rekker konvergerer. Man kan også vite at et Banach-rom ${\displaystyle (X,\lVert \cdot \rVert )}$ er et Hilbert-rom hvis og bare hvis det tilfredsstiller parallellogramloven, som vil si at

${\displaystyle 2\lVert x\rVert ^{2}+2\lVert y\rVert ^{2}=\lVert x-y\rVert ^{2}+\lVert x+y\rVert ^{2}\quad {\text{for alle }}x,y\in X.}$

• (en) Eric W. Weisstein, Banach Space i MathWorld.