Variansanalyse

Variansanalyse (ANOVA, frå det engelske «analysis of variance») er eit fellesomgrep for ei rekkje statistiske metodar for å teste likskap mellom to eller fleire utval, der éin eller fleire faktorar gjer seg gjeldande. Variansanalyse er i dei enkle tilfella eit alternativ til Z/t-testane for å samanlikne gjennomsnitt i populasjonar.

Dei to grunnleggjande formene for variansanalyse skildrast gjerne som 'einvegs' og 'tovegs' variansanalyse. I einvegs tilfellet undersøkingar ein berre éin eigenskap som varierer mellom gruppene, i tovegstilfellet undersøkjer ein òg variasjonar innover i gruppene.

Det enklaste tilfellet for variansanalyse er tilfellet der ein har ${\displaystyle I}$ grupper med like storleikar ${\displaystyle J}$, og ønskjer å samanlikne gjennomsnitta til gruppene. Han nyttar gjerne der ein ønskjer å samanlikne skilnader i respons på forskjellige handsamingar (treatments) i forskjellige grupper.

Hypotesen ein testar er for ei mengd populasjonar^[1] ${\displaystyle I}$

1. ${\displaystyle H_{0}:\ \mu _{1}=\mu _{2}=\dots =\mu _{I}}$
2. ${\displaystyle H_{A}:}$ minst to av gruppene er forskjellige.

Føresetnadene for testen er at alle observasjonane er uavhengige normalfordelte tilfeldige variable med lik varians.

Dei fundamentale storleikane i variansanalysen er kvadratavvik totalt (SST), mellom individ og gruppe (SSE) og mellom gruppe og totalt gjennomsnitt (SSTr). Desse er definert ved^[2]
${\displaystyle SST=\sum _{i}\sum _{j}(x_{ij}-{\overline {x}}_{..})^{2}=\sum _{i}\sum _{j}x_{ij}^{2}-{\frac {x_{..}^{2}}{IJ}}}$
${\displaystyle SSTr=\sum _{i}\sum _{j}({\overline {x}}_{i.}-{\overline {x}}_{..})^{2}={\frac {\sum _{i}X_{i.}^{2}}{J}}-{\frac {x_{..}^{2}}{IJ}}}$
${\displaystyle SSE=\sum _{i}\sum _{j}(x_{ij}-{\overline {x}}_{i.})^{2}}$

Samanhengen mellom desse gjev opphav til den fundamentale ANOVA-identiteten SST = SSTr + SSE.^[3] Videre har vi at^[4]
${\displaystyle MSTr={\frac {SSTr}{I-1}}}$
${\displaystyle MSE={\frac {SSE}{I(J-1)}}}$

Dette gjev opphavet til det ein kallar ein ANOVA-tabell:^[5]

For å teste nullhypotesen, brukar ein ofte ein f-test. Testobservatoren er gjeven ved^[4]
${\displaystyle f={\frac {MSTr}{MSE}}}$

som ein reknar har ein ${\displaystyle F_{I-1,I(J-1)}}$-fordeling. Forkastingsområdet for ${\displaystyle H_{0}}$ er ${\displaystyle f\geq F_{\alpha ,I-1,I(J-1)}}$ for ønskt signifikansnivå ${\displaystyle \alpha }$

F-testen er eit godt utgangspunkt for å samanlikne gjennomsnitta i fleire populasjonar, men han gjev ikkje svar på kva av populasjonane som er signifikant ulike kvarandre. Tukeys prosedyre nyttar ei Q-fordeling til å rekne ut kva intervall gjennomsnitta i populasjonen kan ligge i for å vere signifikant like kvarandre. For eit signifikansnivå ${\displaystyle \alpha }$ definerer vi ${\displaystyle w}$ som

${\displaystyle w=Q_{\alpha ,I,I(J-1)}{\sqrt {MSE/J}}}$

Dei gjennomsnitta som har større differanse enn ${\displaystyle w}$ vert rekna å vere signifikant ulike, med signifikansnivå ${\displaystyle \alpha }$^[6]

For tilfellet med to populasjonar, vil variansanalyse og ein alminneleg t-test gje same resultat for hypotesen ${\displaystyle H_{0}:\ \mu _{1}=\mu _{2}}$ mot ${\displaystyle H_{A}:\ \mu _{1}\neq \mu _{2}}$. T-testen er meir fleksibel, då ein og kan teste om eit gjennomsnitt er større enn, eller mindre enn eit anna.

For ${\displaystyle I>2}$ kan ein i prinsippet òg utføre t-testar for alle kombinasjonar av grupper, men dette vil gje større sannsyn for type 1-feil.^[7]