Fulkomne tal

Fullkomne tal er heile tal som er lik summen av divisorane i talet, det vil seie dei tala som går opp i det fulkomne talet unntatt talet sjølv. Alle kjende fullkomne tal er partal.

Euklids regel seier at når p = 2ⁿ - 1 er eit primtal, så er F = p^2n-1 eit fullkome tal.

Dei første fullkomne tala er

• 6 = 1 + 2 + 3
• 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
• 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
• 8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064
• 33 550 336
• 8 589 869 056
• 137 438 691 328

La ${\displaystyle m=2^{n-1}p}$, der ${\displaystyle 2^{n}-1}$ er eit primtal. Då er summen av dei naturlege tala som deler m (m inkludert)

${\displaystyle p+2p+...+2^{n-1}p+1+2+...+2^{n-1}=(p+1)(1+...+2^{n-1})=(p+1)(2^{n}-1)=2m=m+m}$,

så summen av alle tala som deler m utan å vera m er m.

Spørsmålet om alle fullkomne tal er partal, er eit kjent uløyst problem innan talteorien.

• Fermattal
• Mersennetal

• Anton Røstad i Norsk Allkunnebok (1953)
• Fullkomne tall i SNL