Vektorrom

Eit vektorrom i matematikk er ei mengd av element, kalla vektorar, definert med to operasjonar vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon. Dei to operasjonane oppfyller eit sett av eigenskapar som er definert aksiomatisk.

Mange viktige matematiske resultat kan utleiast for alle vektorrom ved å basere utleiinga berre på dei definerte aksioma. Dersom ein kan vise at ei gjeven mengd er eit vektorrom, så har ein dermed vist at desse resultata er gyldige òg for den aktuelle mengda. Éit og same matematiske resultat kan dermed vise seg å vere gyldig for tilsynelatande ulike objekt som funksjonar og matriser, fordi begge desse typane objekt er element av vektorrom. Vektorrom er dermed ein abstraksjon som gjer ein i stand til å studere mange ulike matematiske objekt ut frå eit sett av sentrale felle si eigenskapar.

Ein sentrale eigenskap for elementa i eit vektorrom er at dei kan adderast og summen vil òg vere eit element i vektorrommet. Tilsvarande kan ein òg multiplisere ein vektor med ein skalar, og produktet vil vere eit nytt element i rommet. Desse eigenskapane blir omtalt som at rommet er lukka under vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon. Linearitetseigenskapane til vektoraddisjonen er òg ein sentral karakteristisk eigenskap, og vektorrom er sentrale i studiet av lineær algebra og i funksjonalanalyse.

Eit vektorrom er karakterisert ved ein dimensjon, som laust sagt er lik mengder uavhengige retningar i rommet. Dimensjonen kan vere både endeleg og uendeleg. Mengda av alle punkt med tre koordinatar (x,y,z) kan definerast som eit tre-dimensjonalt vektorrom, med ein passande definisjon av addisjon og skalarmultiplikasjon for punkta. Med passande definisjon av operasjonane er mengda av alle kontinuerlege funksjonar eit uendeleg-dimensjonalt vektorrom.

Eit vektorrom er ei mengd V definert med eit sett av skalarar, og dessutan to operasjonar, addisjon og skalarmultiplikasjon. Addisjonen er ein regel som til kvart par av element u og v i V tilordnar eit nytt element (u+v) i V. Tilsvarande er skalarmultiplikasjon ein regel som for kvar skalar ${\displaystyle \alpha }$ og kvart element u i V tilordnar eit nytt element (${\displaystyle \alpha }$ u) i V.

Addisjonen må oppfylle dei følgjande eigenskapane:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\mathbf {u} +\mathbf {v} &=\mathbf {v} +\mathbf {u} &{\text{Kommutativitet}}\\\mathbf {u} +(\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=(\mathbf {u} +\mathbf {v} )+\mathbf {w} &{\text{Assosiativitet}}\\\mathbf {u} +\mathbf {0} &=\mathbf {u} &{\text{Eksistens av nullelement }}\mathbf {0} \\\mathbf {u} +(-\mathbf {u} )&=\mathbf {0} &{\text{Eksistens av additiv invers }}(-\mathbf {u} )\\\end{array}}}$

Skalarmultiplikasjonen må oppfylle følgjande eigenskapar

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\alpha (\beta \mathbf {u} )&=(\alpha \beta )\mathbf {u} \quad \quad \ \ &{\text{Assosiativitet}}\\\alpha (\mathbf {u} +\mathbf {v} )\quad \ &=\alpha \mathbf {u} +\alpha \mathbf {v} &{\text{Distributivitet}}\\(\alpha +\beta )\mathbf {u} &=\alpha \mathbf {u} +\beta \mathbf {u} &{\text{Distributivitet}}\\0\mathbf {u} &=\mathbf {0} &{\text{Nullelement}}\\1\mathbf {u} &=\mathbf {u} &{\text{Einingselement}}\\\end{array}}}$

Definisjonen medfører at V er ein abelsk gruppe med omsyn på addisjonen.

Det Euklidske n-romma består av alle n-tuplar ${\displaystyle (u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})}$ av reelle tal. Addisjon er definert ved å summere koordinat for koordinat:

${\displaystyle (u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})+(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})=(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2},\ldots ,u_{n}+v_{n})\,}$.

Skalarmultipliksajon er definert ved å multiplisere kvar koordinat med skalaren:

${\displaystyle k(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})=(ku_{1},ku_{2},\ldots ,ku_{n})}$.

Dimensjonen til rommet er lik n.

Mengda av alle n × m-matriser utgjer eit vektorrom ved å bruke definisjonen av matriseoperasjonene addisjon og skalarmultiplikasjon. Dimensjonen til vektorrommet er lik produktet NM.

Nullvektorrommet er eit vektorrom som består av berre éit element, kalla 0, saman med operasjonane

${\displaystyle \mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle k\mathbf {0} =\mathbf {0} }$.

Dimensjonen til vektorrommet er lik 1.

Vektorrommet ${\displaystyle C^{1}}$ er definert som mengda av alle kontinuerlege reelle funksjonar definert på heile R . Vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon er definert som

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)\,}$

${\displaystyle (\alpha f)(x)=\alpha f(x)\,}$.

Dette vektorrommet har uendeleg dimensjon.

Ei mengd av vektorar er lineært uavhengige dersom det ikkje er mogleg å uttrykkje ein vilkårleg vektor i mengda som ein lineærkombinasjon av dei andre. Dersom v_i er ein vektor i mengda kan ein alternativt uttrykkje dette som at likninga

${\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {v} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots \alpha _{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} }$

medfører at alle skalarverdiane ${\displaystyle \alpha _{i}}$ er lik null.

Ei mengd av lineært uavhengige vektorar i eit vektorrom er ein algebraisk basis eller ein Hamelbasis for vektorrommet, dersom ein vilkårleg vektor i rommet kan uttrykkjast som ein lineærkombinasjon av desse. Ofte blir berre brukt kortversjonen basis.

Det vil alltid eksistere mange alternative basisar for eit vektorrom. Dersom mengda vektorar i ein basis er endeleg, så vil alle alternative basisar ha same mengder vektorar, og mengda vektorar i ein basis blir kalla dimensjonen til rommet.

To vektorrom med same endelege dimensjon er isomorfe, dei er strukturelt identiske.

Vektorane (1,0,0), (0,1,0) og (0,0,1) er ein basis for vektorromet R³. Dimensjonen i rommet er tre.

Eit underrom er eit vektorrom som er ei delmengd av eit anna vektorrom.

Definerer ein vektorrommet P_n som mengda av alle polynom av grad mindre eller lik n, med vanleg operasjonar for polynom, så vil P_i vere eit underrom av P_j når i < j.

Vektorrom som med ein definert norm kallast eit normert vektorrom. Definisjonen av ein norm gjer at det er mogleg å snakke om lengder og avstandar i vektorrommet. Det er då òg mogleg å introdusere omgrepet konvergens.

Eit normert vektorrom er komplett dersom ein kvar cauchyfølgje av vektorar har ein grenseverdi som òg er ein vektor i rommet. Eit komplett normert vektorrom kallast eit banachrom.

Eit indreproduktrom er eit vektorrom definert med eit indreprodukt. Eit komplett indreproduktrom blir kalla eit hilbertrom.