Paulis eksklusjonsprinsipp

Paulis eksklusjonsprinsipp, eller berre Paulis prinsipp, er eit kvantemekanisk prinsipp formulert av Wolfgang Pauli i 1925. Prinsippet seier at to identiske fermion ikkje kan okkupere same kvantetilstand samstundes. Ein meir rigorøs påstand av dette prinsippet er at for to identiske fermion er den totale bølgjefunksjonen antisymmetrisk. For elektron i eit enkelt atom seier det at ingen av elektrona kan ha dei same fire kvantetala. Det vil seie at dersom n, l og m_l er like, må m_s vere forskjellig, altså har forskjellig spinn.

I relativistisk kvantefeltteori følgjer Paulis prinsipp frå å bruke ein rotasjonsoperator på den imaginære tida til partiklar med halvtalig spinn. Dette følgjer ikkje frå nokre spinnrelasjonar i ikkje-relativistisk kvantemekanikk.

Paulis eksklusjonsprinsipp er eit av dei mest kjende prinsippa innan fysikk, primært fordi dei tre typane elementærpartiklar som ordinær materie består av, elektron, proton og nøytron, alle er berørt av prinsippet. På grunn av prinsippet viser alle materialpartiklar rom-okkuperande oppførsel. Pauliprinsippet underbygger mange av dei karakteristiske eigenskapane til materie frå storskala stabilitet til eksistensen av periodesystemet. Partiklar med antisymmetriske bølgjefunksjonar kallast fermion og følgjer Paulis prinsipp. Bortsett frå elektron, nøytron og proton, inkluderer fermion òg nøytrinoar og kvarkar, samt einskilde atom som ³He. Alle fermion har halv-talig spinn, noe som tyder at dei har eit internt dreiemoment med verdiar lik ${\displaystyle n\hbar =nh/2\pi }$, der ${\displaystyle n=1/2,3/2,5/2,...}$. Altså Plancks reduserte konstant ganga med ein halvtalig konstant (1/2, 3/2, 5/2, ...). Partikler med heiltalig spinn, altså der ${\displaystyle n=1,2,3,...}$, har ein symmetrisk bølgjefunksjon og vert kalla boson. I kontrast til fermion kan disse dele same kvantetilstand. Døme på boson er foton, Cooper-par som er ansvarleg for superleiing, og W- og Z-bosona.

Tidleg på 1900-talet vart det klårt at atom og molekyl med par av elektron, eller ei jamn mengd elektron, er dei meir stabile enn dei med ei odde mengd elektron. I den kjende artikkelen frå 1916, The Atom and the Molecule av Gilbert N. Lewis blir det sett opp seks postulat om kjemisk oppførsel. Nummer tre i artikkelen seier at atom har ein tendens til å halde ei jamn mengd elektron i eit skal, og spesielt å halde åtte elektron som normalt er fordelt symmetrisk i dei åtte hjørna i ein kube. I 1919 foreslo den amerikanske kjemikaren Irving Langmuir at periodesystemet kunne forklarast dersom elektrona i eit atom var organisert i klynger eller på ein annan måte hengde saman. Grupper av elektron vart tenkt å okkupere eit sett av elektronskal rundt kjernen.^[1] I 1922 oppdaterte Niels Bohr sin atommodell ved å tru at enkelte mengd av elektron (til dømes 2, 8, og 18) tilsvarte «lukka skal».

Pauli såg etter ei forklaring på desse tala som først berre var empiriske. Samtidig prøvde han å forklare eksperimentelle resultat av Zeemaneffekten i atomær spektroskopi og i ferromagnetisme. Pauli fann eit viktig hint i ein artikkel frå 1924 av E.C. Stoner. Artikkelen påpekte at for ein viss verdi av hovudkvantetalet ${\displaystyle n}$, er mengda energinivå for eit enkelt elektron i spekteret frå eit alkalimetall i eit eksternt magnetisk felt, der alle degenererte energinivå er separert, er lik mengda elektron i dei lukka skala til edelgassane for same verdi av ${\displaystyle n}$. Dette fekk Pauli til å innsjå at dei kompliserte mengdene av elektron i lukka skal kunne reduserast til den enkle regelen «eitt» per tilstand, dersom elektrontilstanda er definert ved fire kvantetal. For dette formålet introduserte han eit nytt toverdig kvantetal, identifisert av Samuel Goudsmit og George Uhlenbeck som elektronspinn.

Paulis eksklusjonsprinsipp med ein eintydig mangepartikkel bølgjefunksjon er ekvivalent med førehandstrua at bølgjefunksjonen er antisymmetrisk. Ein antisymmetrisk topartikkeltilstand er representert som ein sum av tilstandane, eller som ein superposisjon av tilstandane, der den eine partikkelen er i tilstanden ${\displaystyle \scriptstyle |x\rangle }$ og den andre i tilstanden ${\displaystyle \scriptstyle |y\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{xy}A(x,y)|x,y\rangle }$

og antisymmetri under veksling medfører at ${\displaystyle \scriptstyle A(x,y)=-A(y,x)}$. Dette impliserer at ${\displaystyle \scriptstyle A(x,y)=0}$ som er Pauli eksklusjon i «praksis». Dette er sant i ein kvar basis sidan unitære endringar i basisen held antisymmetriske matriser antisymmetriske, sjølv om kvantiteten ${\displaystyle \scriptstyle A(x,y)}$ strengt tatt er ein andregrads tensor.

Omvendt, dersom dei diagonale kvantitetane ${\displaystyle \scriptstyle A(x,x)}$ er null i «ein kvar basis», blir komponentane i bølgjefunksjonen

${\displaystyle A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |(|x\rangle \otimes |y\rangle )}$

og desse er nødvendigvis antisymmetriske. For å bevise dette, sjå på matriseelementet

${\displaystyle \langle \psi |((|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ))\,}$

Dette er null fordi dei to partiklene har null sannsyn for at begge skal vere i den superposisjonerte tilstanden ${\displaystyle \scriptstyle |x\rangle +|y\rangle }$. Men dette er lik

${\displaystyle \langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle \,}$

Det første og siste leddet på høgre side er diagonale element og er null, og heile summen er lik null. Så matriseelementa til bølgjefunksjonen oppfyller

${\displaystyle \langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0\,}$.

eller

${\displaystyle A(x,y)=-A(y,x)\,}$

Ifølgje spinnstatistikkteoremet vil partiklar med heiltallig spinn okkupere symmetriske kvantetilstander, og partiklar med halvtallig spinn okkupere antisymmetriske tilstandar. Vidare, berre heiltallig eller halvtallig spinnverdier er tillate av dei kvantemekaniske prinsippa.

Paulis eksklusjonsprinsipp bidreg til å forklare ei rekkje fysiske fenomen. Ein konsekvens av prinsippet er elektronskal-strukturen i atom og måten atom deler elektron. Eit elektrisk nøytralt atom består av like mange bundne elektron som det er proton i kjernen. Sidan elektron er fermion forbyr Pauliprinsippet dei å okkupere same tilstand og ein får ein «stabling» av elektrona inne i atomet.

Til dømes, eit nøytralt heliumatom har to bundne elektron. Begge desse elektrona kan okkupere den lågaste energitilstanden (1s) ved å ha motsett spinn. Dette bryt ikkje med Pauliprinsippet fordi spinn er ein del av kvantetilstanden til elektronet. På denne måten vil to elektron med motsett spinn kunne okkupere same energinivå. Dersom ein no ser på litium, som har tre elektron, vil ein ikkje ha plass til alle elektrona i 1s-tilstanden sidan spinnet berre kan ta to verdiar, «opp» eller «ned». Difor må det tredje elektronet plasserast i den høgare energitilstanden 2s. På denne måten vil tyngre grunnstoff ha fleire og fleire elektronskal. Den kjemiske eigenskapen til eit element avheng i stor grad av mengda elektron i det ytste skalet, noko som gjev opphav til den periodiske tabellen.

I elektriske leiarar og halvleiarar må frie elektron dele heile volumet, med andre ord «stablast» energinivåa opp og dannar bandstrukturar frå kvart av dei atomære energinivåa. I sterke leiarar (metall) er elektron så degenererte at dei ikkje kan bidra i særleg grad til den termiske kapasiteten til eit metall. Mange mekaniske, elektriske, magnetiske, optiske og kjemiske eigenskapar til faste stoff er direkte konsekvensar av Paulis eksklusjonsprinsipp.

Sidan elektron er negativt ladd og kjernen er positivt ladd skulle ein tru at atoma ville kollapse. Stabiliteten til elektron omkring eit atom er ikkje relatert til eksklusjonsprinsippet, men er skildra av kvanteteorien til atomet. Den underliggande ideen er at når elektronet nærmar seg atomkjernen aukar den kinetiske energien til elektronet. Dette baserer seg på Heisenbergs uvisserelasjon.^[2] Derimot trengst eksklusjonsprinsippet for større system med mange elektron og mange kjernar.^[3]

Det har vorte vist at Paulis eksklusjonsprinsipp er ansvarleg for at ordinær bulk-materie er stabil og tek opp volum. Det første forslaget vart fremja av Paul Ehrenfest i 1931, som påpekte at alle elektrona i kvart atom ikkje kan falle ned i det inste skalet med lågast energi, og at dei må oppta stadig større skal. Atom okkuperer opptek difor volum og kan ikkje bli skvisa noko meir saman.

Eit meir rigorøst bevis vart framstillt av Freeman Dyson og Andrew Lenard i 1967. Dei såg på balansen mellom tiltrekkande (elektron-kjerne) og fråstøytande (elektron-elektron og kjerne-kjerne) krefter og viste at vanleg materie ville kollapse og okkupere eit mykje mindre volum utan eksklusjonsprinsippet. Konsekvensen av Pauliprinsippet her er at elektron med same spinn blir halde frå kvarandre av fråstøytande utvekslingskrefter. Dette er ein kortrekkande kraft som kjem i tillegg til den langtrekkande elektrostatiske krafta eller Coulomb-krafta.

Dyson og Lenard tok ikkje med dei ekstreme magnetiske eller gravitasjonskreftane som oppstår i einskilde astronomiske objekt. I 1995 viste Elliott Lieb og hans medarbeidarar at Pauliprinsippet enno leiar til stabilitet i intense magnetiske felt som i nøytronstjerner. Men nøytronstjernene har mykje høgare tettleik enn ordinær materie. Ved tilstrekkeleg intense gravitasjonsfelt vil materie kollapse og danne svarte hol.

Astronomi viser ein annan spektakulær demonstrasjon av denne effekten i form av kvite dvergar og nøytronstjerner. For begge av desse lekamane er deira vanlege atomære struktur brote av sterke gravitasjonskrefter, som gjer at dei blir berre oppretthalde av «degenerasjonstrykk». Denne eksotiske forma for materie er kjent som degenerert materie. I kvite dvergar er atoma halde frå kvarandre av elektrona sine degenerasjonstrykk. I nøytronstjerner, som er under endå sterkare gravitasjonskrefter, blir elektrona smelta saman med protona og dannar nøytron, som igjen produserer eit større degenerasjonstrykk. Nøytron er dei mest rigide objekta ein veit om. Deira Young modulus (eller meir presist; bulk modulus) er 20 storleiksordenar større enn i ein diamant.

• Hunds regel

• Nobel Lecture: Exclusion Principle and Quantum Mechanics Paulis egen forklaring om utviklingen av eksklusjonsprinsippet.
• The Exclusion Principle (1997), Paulis eksklusjonsregler vs. Aspden eksklusjonsregler.