[go: up one dir, main page]

Wederzijds singuliere maten

In de maattheorie, een tak van de wiskundige analyse, noemt men twee maten op dezelfde meetbare ruimte wederzijds singulier of singulier ten opzichte van elkaar als de ruimte in twee delen opgedeeld kan worden zodanig dat de ene maat op het ene deel en de andere op het andere deel geconcentreerd is. Een maat die op één deel is geconcentreerd, kent aan de meetbare verzamelingen in het andere deel de maat 0 toe,

Definitie

bewerken

Twee maten   en   op een meetbare ruimte   noemt men wederzijds singulier, genoteerd als  , als er disjuncte meetbare verzamelingen   zijn, zodanig dat voor alle meetbare verzamelingen   geldt:

  en  

De maat   is geconcentreerd op   en de maat   op  .

Wederzijdse singulariteit is in zekere zin het "tegenovergestelde" van absolute continuïteit. Dit wordt gesterkt door de elementaire opmerking dat als   absoluut continu is met betrekking tot   ( ), en   en   zijn wederzijds singulier ( ), dan is  , en door de (allerminst elementaire) onderstaande stelling.

Als een bijzonder geval wordt een maat die op een euclidische ruimte   is gedefinieerd, singulier genoemd, als deze maat singulier is met betrekking tot de lebesgue-maat op deze ruimte. De dirac-deltafunctie is een voorbeeld van een singuliere maat.

Een kansmaat op   is dan en slechts dan singulier als er een (lebesgue-)nulverzameling is waaraan die kans 1 toekent. Dit is het geval voor discrete verdelingen. De poissonverdeling bijvoorbeeld is geconcentreerd op de natuurlijke getallen, die als aftelbare verzameling lebesgues-maat 0 hebben.

Een maat is σ-eindig als de hele ruimte de vereniging is van een aftelbare collectie van meetbare verzamelingen met eindige maat. Dit geldt onder meer voor de labesguemaat en alle kansmaten.

Stelling van Radon-Nikodym-Lebesgue

bewerken

Als op de meetbare ruimte   een σ-eindige maat   en een σ-eindige getekende maat   gegeven zijn, dan kan   op eenduidige wijze gesplitst worden in twee σ-eindige maten  , die singulier is ten opzichte van  , en  , die absoluut continu is ten opzichte van  :

 
 
 

Bovendien is   en heeft   een  -integreerbare dichtheidsfunctie  :

  voor alle  

Als   eindig is, zijn ook   en   eindig.