Stelling van Wilson

Uit het ongerijmde: stel dat ${\displaystyle (p-1)!+1}$  door ${\displaystyle p}$  is te delen en dat ${\displaystyle p}$  weer door een getal ${\displaystyle d}$  met ${\displaystyle 1<d<p}$  is te delen. Omdat ${\displaystyle d}$  een van de getallen ${\displaystyle 2,3,\ldots ,p-1}$  is, is ${\displaystyle (p-1)!}$  door ${\displaystyle d}$  te delen. ${\displaystyle (p-1)!+1}$  is ook door ${\displaystyle d}$  te delen, dus zou ook 1 door ${\displaystyle d}$  te delen zijn. Dit is in tegenspraak met de veronderstelling.

Eerste bewijs

Dit bewijs gebruikt dat voor een priemgetal ${\displaystyle p>2}$  de verzameling ${\displaystyle G=\{1,2,\ldots ,p-1\}}$  een groep is onder vermenigvuldiging modulo ${\displaystyle p}$ . Dit betekent dat er voor ieder element ${\displaystyle a\in G}$  een uniek invers element ${\displaystyle b\in G}$  is zodanig dat ${\displaystyle ab\equiv 1\!\!{\pmod {p}}}$ . Als ${\displaystyle a^{2}\equiv 1{\pmod {p}}}$ , dan is ${\displaystyle a^{2}-1=(a+1)(a-1)\equiv 0{\pmod {p}}}$  en omdat ${\displaystyle p}$  een priemgetal is, moet ${\displaystyle a\equiv -1\equiv p-1{\pmod {p}}}$  of ${\displaystyle a\equiv 1{\pmod {p}}}$ .

Met andere woorden: 1 en ${\displaystyle p-1}$  zijn hun eigen inverse, maar ieder ander element van ${\displaystyle G}$  heeft een inverse verschillend van zichzelf. Als dus paarsgewijs alle elementen van ${\displaystyle G}$  met hun inverse bij elkaar genomen worden en allemaal met elkaar vermenigvuldigd, is het product ${\displaystyle (p-1)!}$  modulo ${\displaystyle p}$  gelijk aan −1.

Voor ${\displaystyle p=11}$  is bijvoorbeeld

${\displaystyle 10!=1\cdot 10\cdot (2\cdot 6)(3\cdot 4)(5\cdot 9)(7\cdot 8)\ \equiv \ -1\ ({\mbox{mod}}\ 11)}$ 

In het geval dat ${\displaystyle p=2}$  is de stelling eenvoudig te controleren.

Tweede bewijs

Stel p is een priemgetal groter dan 2. Beschouw de polynomen

${\displaystyle g(x)=(x-1)(x-2)\cdots (x-(p-1))}$ 

en

${\displaystyle f(x)=g(x)-(x^{p-1}-1)}$ .

De constante term in ${\displaystyle f(x)}$  is ${\displaystyle (p-1)!+1}$ .

${\displaystyle f(x)}$  is een polynoom, waarvan de graad ten hoogste ${\displaystyle p-2}$  is, met dus ten hoogste ${\displaystyle p-2}$  nulpunten; Modulo ${\displaystyle p}$  geldt hetzelfde. Volgens de kleine stelling van Fermat is ieder van de getallen ${\displaystyle 1,2,\ldots ,p-1}$  een nulpunt van ${\displaystyle f(x)}$ . Dit is onmogelijk, tenzij ${\displaystyle f(x)=0{\pmod {p}}}$ , oftewel tenzij iedere coëfficiënt van ${\displaystyle f(x)}$  door ${\displaystyle p}$  is te delen, en de constante ${\displaystyle (p-1)!+1}$  dus ook.

Voor samengestelde getallen ${\displaystyle n>4}$  geldt:

${\displaystyle (n-1)!\equiv 0\mod n}$ ,

d.w.z. ${\displaystyle (n-1)!}$  is deelbaar door ${\displaystyle n}$ .

Voor ${\displaystyle n=4}$  is:

${\displaystyle (n-1)!=3!\equiv 2\mod 4}$ 

Een algemene vorm is voor ieder oneven priemgetal ${\displaystyle p}$  en voor ieder positief geheel getal ${\displaystyle k}$  kleiner dan ${\displaystyle p}$ :

${\displaystyle (k-1)!(p-k)!\ \equiv \ (-1)^{k}\mod p}$ 

hetgeen met volledige inductie is te bewijzen.

Van Gauss is de volgende vorm van de stelling bekend:^[1]

${\displaystyle \prod _{\begin{matrix}1\leq a<m\\(a,m)=1\end{matrix}}a\equiv {\begin{cases}-1\mod m&{\text{voor }}m=4,\,p^{\alpha },\,2p^{\alpha }\\\ \ \ 1\mod m&{\text{anders}}\end{cases}}}$ 

waarin ${\displaystyle p}$  een oneven priemgetal is.

De volgende tabel toont de waarden van ${\displaystyle n}$  van 2 tot 30, ${\displaystyle (n-1)!}$  en ${\displaystyle (n-1)!\mod n}$ . Als ${\displaystyle n}$  een priemgetal is, dan is de achtergrondkleur roze. En als ${\displaystyle n}$  een samengesteld getal is, dan is de achtergrondkleur lichtgroen.

Tabel van rest modulo ${\displaystyle n}$ 

${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)!}$	${\displaystyle (n-1)!\ {\bmod {\ }}n}$
2	1	1
3	2	2
4	6	2
5	24	4
6	120	0
7	720	6
8	5040	0
9	40320	0
10	362880	0
11	3628800	10
12	39916800	0
13	479001600	12
14	6227020800	0
15	87178291200	0
16	1307674368000	0
17	20922789888000	16
18	355687428096000	0
19	6402373705728000	18
20	121645100408832000	0
21	2432902008176640000	0
22	51090942171709440000	0
23	1124000727777607680000	22
24	25852016738884976640000	0
25	620448401733239439360000	0
26	15511210043330985984000000	0
27	403291461126605635584000000	0
28	10888869450418352160768000000	0
29	304888344611713860501504000000	28
30	8841761993739701954543616000000	0