Secans en cosecans

Van een scherpe hoek ${\displaystyle b}$  in een rechthoekige driehoek is de secans gelijk aan:

${\displaystyle \sec(b)={\frac {\mbox{schuine zijde}}{\mbox{aanliggende zijde}}}={\frac {\|OP\|}{\|OC\|}}=\|OT\|}$ 

De secans van een scherpe hoek ${\displaystyle b}$  in een rechthoekige driehoek is dus de omgekeerde van de cosinus van deze hoek:

${\displaystyle \sec(b)={\frac {1}{\cos(b)}}}$ 

De volgende vergelijking kan uit de eenheidscirkel en de stelling van Pythagoras worden afgeleid:

${\displaystyle \tan ^{2}(x)+1=\sec ^{2}(x)}$ 

Zoals voor alle goniometrische functies is

${\displaystyle \sec(x)=\sec(x+2k\pi )}$ 

De secans kan in de volgende machtreeks worden ontwikkeld voor ${\displaystyle |x|<\pi /2}$ :

${\displaystyle \sec(x)=1+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}}$ 

Daarin is ${\displaystyle E_{n}}$  een eulergetal.

Van een scherpe hoek ${\displaystyle \alpha }$  in een rechthoekige driehoek is de secans van het complement van die hoek:

${\displaystyle \csc(b)=\sec(90^{\circ }-b)}$ 

Uitgedrukt in de zijden van de driehoek is:

${\displaystyle \csc(b)={\frac {\mbox{schuine zijde}}{\mbox{overstaande zijde}}}={\frac {\|OP\|}{\|CP\|}}=\|OK\|}$ 

De cosecans van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is dus het omgekeerde van de sinus van die hoek:

${\displaystyle \csc(b)={\frac {1}{\sin(b)}}}$ 

De volgende vergelijking kan worden afgeleid:

${\displaystyle \cot ^{2}(x)+1=\csc ^{2}(x)}$ 

De cosecans kan in de volgende machtreeks worden ontwikkeld voor ${\displaystyle 0<|x|<\pi /2}$ :

${\displaystyle \csc(x)={\frac {1}{x}}+{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}+{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}B_{2n}{\frac {2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}}$ 

Daarin is ${\displaystyle B_{n}}$  het ${\displaystyle n}$ -de bernoulligetal.