Raakprobleem van Apollonius

Het raakprobleem is te reduceren met de volgende observatie.

• Als een cirkel met middelpunt A en straal ${\displaystyle r}$ , en een cirkel met middelpunt B en straal ${\displaystyle R}$  elkaar raken, raakt de cirkel met middelpunt A en straal ${\displaystyle |r+d|}$  aan de cirkel met middelpunt B en straal ${\displaystyle |R+\varepsilon d|}$ , waarin ${\displaystyle \varepsilon =\pm 1}$ , naargelang de cirkels elkaar inwendig of uitwendig raken.

Het probleem kan nu worden gereduceerd door van de drie gegeven cirkels de stralen gelijkelijk te vergroten/verkleinen (met zo nodig de absolute waarde). Zo kan men bijvoorbeeld doorgaan totdat twee cirkels elkaar raken. Door inversie kunnen de rakende cirkels worden afgebeeld op evenwijdige lijnen en ontstaat een eenvoudiger versie van het probleem.

 

• Van de drie gegeven cirkels ${\displaystyle C_{1}}$ , ${\displaystyle C_{2}}$  en ${\displaystyle C_{3}}$  met middelpunten ${\displaystyle O_{1}}$ , ${\displaystyle O_{2}}$  en ${\displaystyle O_{3}}$  wordt eerst het machtpunt ${\displaystyle M}$  geconstrueerd.

Elk tweetal cirkels heeft twee gelijkvormigheidscentra (namelijk een uitwendig en inwendig gelijkvormigheidspunt). Totaal zijn er dus zes van deze punten, die per drie collineair zijn en wel op vier gelijkvormigheidsassen. Voor elk van deze lijnen, telkens met de naam ${\displaystyle d}$ , worden de volgende constructiestappen uitgevoerd. In de hiernaast staande figuur is slechts een van deze lijnen weergegeven. De punten ${\displaystyle G_{12}}$ , ${\displaystyle G_{13}}$  en ${\displaystyle G_{23}}$  daarop zijn de uitwendige gelijkvormigheidspunten van de cirkels.^[1]

• De loodlijn uit ${\displaystyle M}$  op de gelijkvormigheidas ${\displaystyle d}$  is ${\displaystyle d'}$ .
• Het snijpunt van de loodlijn uit ${\displaystyle O_{1}}$  met ${\displaystyle d}$  is ${\displaystyle P_{1}}$ .
• De inverse van ${\displaystyle P_{1}}$  met ${\displaystyle C_{1}}$  als inversiecirkel is ${\displaystyle Q_{1}}$ .
• De snijpunten van de lijn ${\displaystyle MQ_{1}}$  met ${\displaystyle C_{1}}$  zijn ${\displaystyle U_{1}}$  en ${\displaystyle V_{1}}$ .
• Het snijpunt van ${\displaystyle d'}$  met de lijn ${\displaystyle O_{1}U_{1}}$  is het middelpunt van de cirkel die door ${\displaystyle U_{1}}$  gaat. Die cirkel is een deel van de oplossing.
• Het snijpunt van ${\displaystyle d'}$  met de lijn ${\displaystyle O_{1}V_{1}}$  is het middelpunt van de cirkel die door ${\displaystyle V_{1}}$  gaat. Ook deze cirkel is een deel van de oplossing.

Met twee oplossingen per lijn zijn er dan in totaal acht oplossingen.

Vaak bekijkt men eenvoudiger gevallen van het raakprobleem van Apollonius, door voor een cirkel een ontaarde cirkel te nemen: een punt of een lijn. Men kan de volgende gevallen onderscheiden:

De tien gevallen van het raakprobleem van Apollonius

Nummer	geval	gegeven	algemeen aantal oplossingen	Voorbeeld (gegeven elementen zwart; oplossing roze)	opmerkingen
1	CCC	drie cirkels (het klassieke probleem)	8
2	CCR	twee cirkels en een rechte	8
3	CCP	twee cirkels en een punt	4		Van de 4 oplossingscirkels omsluit één geen van beide cirkels (zie figuur), één alleen de eerste, één alleen de tweede en één allebei de cirkels.
4	CRR	een cirkel en twee rechten	8
5	CRP	een cirkel, een rechte en een punt	4
6	CPP	een cirkel en twee punten	2		De ene oplossingscirkel ligt buiten de gegeven cirkel (zie figuur), de andere omsluit hem.
7	RRR	drie rechten	4		De ingeschreven en de 3 aangeschreven cirkels van de driehoek gevormd door de 3 rechten.
8	RRP	twee rechten en een punt	2		De verbindingslijn van het gegeven punt en het snijpunt van de twee rechten snijdt in het ene geval de oplossingscirkels (zie figuur) en ligt in het andere geval erbuiten.
9	RPP	een rechte en twee punten	2		Als de rechte die door de beide punten gaat, evenwijdig is met de gegeven rechte, dan is er maar 1 oplossing.
10	PPP	drie punten	1		De oplossingscirkel is in het algemeen de omgeschreven cirkel van de driehoek gevormd door de punten. Als de 3 punten op één lijn liggen, is die lijn de (ontaarde) oplossing.

• Cirkels van Soddy