Levi-civita-symbool

Er bestaat ook een tensor-notatie voor het levi-civita-symbool:

${\displaystyle \epsilon _{ijk}=\mathbf {e} ^{i}\cdot (\mathbf {e} ^{j}\times \mathbf {e} ^{k})}$  met ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}$ , ${\displaystyle \mathbf {e} ^{j}}$  en ${\displaystyle \mathbf {e} ^{k}}$  eenheidsvectoren uit een rechtshandig coördinatensysteem.

Het levi-civita-symbool is dus te interpreteren als een antisymmetrische tensor.

Als we de componenten van ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}$  noteren als ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}^{i}}$ , ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}^{i}}$  en ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}^{i}}$ , dan kunnen we dus ook volgende notatie gebruiken:

${\displaystyle \epsilon _{ijk}={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}^{i}&\mathbf {e} _{2}^{i}&\mathbf {e} _{3}^{i}\\\mathbf {e} _{1}^{j}&\mathbf {e} _{2}^{j}&\mathbf {e} _{3}^{j}\\\mathbf {e} _{1}^{k}&\mathbf {e} _{2}^{k}&\mathbf {e} _{3}^{k}\\\end{vmatrix}}}$ .

Er is ook een rechtstreeks verband met de kronecker-delta dat blijkt uit volgende formules:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}$ ,

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{ijn}=2\delta _{kn}}$ .

De functie van drie variabelen kan probleemloos uitgebreid worden naar een functie van ${\displaystyle n}$  variabelen. Hierbij behouden we gewoon de originele definitie:

${\displaystyle \epsilon _{ijk\cdots }=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{als }}(i,j,k,\cdots ){\mbox{ een even permutatie van }}(1,2,3,\cdots ,n){\mbox{ is.}}\\-1&{\mbox{als }}(i,j,k,\cdots ){\mbox{ een oneven permutatie van }}(1,2,3,\cdots ,n){\mbox{ is.}}\\0&{\mbox{in andere gevallen, d.i.: }}i=j{\mbox{ of }}j=k{\mbox{ of }}k=i{\mbox{ of }}\cdots \end{matrix}}\right.}$ 

• Antisymmetrische tensor