abc-vermoeden

Het drietal positieve gehele getallen ${\displaystyle (a,b,c)}$  heet een abc-drietal, als ${\displaystyle a}$  en ${\displaystyle b}$  relatief priem zijn en ${\displaystyle c=a+b}$ .

Onder de kwaliteit ${\displaystyle q}$  van een drietal ${\displaystyle (a,b,c)}$  verstaat men:

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log c}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}}$ .

Daarin is ${\displaystyle \mathrm {rad} (n)}$  het radicaal van ${\displaystyle n}$ , d.w.z. het product van alle verschillende priemgetallen in de ontbinding van ${\displaystyle n}$ .

Een gevolg is dat ${\displaystyle c=\left(\operatorname {rad} (abc)\right)^{q(a,b,c)}}$ 

Het abc-vermoeden is een uitspraak over abc-drietallen ${\displaystyle (a,b,c)}$  die luidt:

Voor elke ${\displaystyle \varepsilon >0}$  zijn er slechts eindig veel getallen ${\displaystyle a}$  en ${\displaystyle b}$  zodanig dat ${\displaystyle q(a,b,c)\geq 1+\varepsilon }$ .

Er moet gelden dat ${\displaystyle \mathrm {ggd} (a,b)=1}$ , anders kunnen elke ${\displaystyle a,b}$  en ${\displaystyle c}$  uit een drietal met 2 vermenigvuldigd worden, en wordt ${\displaystyle c}$  twee keer zo groot zonder dat het radicaal toeneemt, zodat drietallen ontstaan met willekeurig grote kwaliteit.

Het abc-vermoeden is voorlopig slechts een vermoeden, zolang het gepresenteerde bewijs niet is geverifieerd.

Er bestaat een rijtje van records, waarbij de grootst bekende waarde van ${\displaystyle q}$  bepalend is. Momenteel (mei 2013) is het record

${\displaystyle q=1{,}62991}$  voor het abc-drietal ${\displaystyle (a,b,c)=(2,\ 3^{10}\!\times \!109,\ 23^{5})=(2,\ 6436341,\ 6436343)}$ .

Dat het abc-vermoeden een sterke uitspraak is, kan bijvoorbeeld worden gezien doordat het zeer eenvoudig de laatste stelling van Fermat bewijst. Stel dat bewezen zou worden dat er geen getallen ${\displaystyle a}$  en ${\displaystyle b}$  zijn met ${\displaystyle q>2}$ . Dan zou dat voor getallen ${\displaystyle a,b}$  en ${\displaystyle c}$  met

${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$  en ${\displaystyle \mathrm {ggd} (a,b)=1}$ 

betekenen dat het drietal ${\displaystyle (a^{n},b^{n},c^{n})}$  een abc-drietal is, en dus dat

${\displaystyle c^{n}<(\operatorname {rad} (a^{n}b^{n}c^{n}))^{2}=(\operatorname {rad} (abc))^{2}\leq (abc)^{2}<c^{6}}$ 

Het zou dus betekenen dat oplossingen van Fermat alleen mogelijk zijn voor ${\displaystyle n<6}$ . Voor ${\displaystyle n<6}$  is de laatste stelling van Fermat echter al sinds 1825 bewezen, dus volgt hieruit dat de laatste stelling van Fermat waar is.

Er zijn nog veel onopgeloste problemen omtrent het abc-vermoeden. Hieronder is een selectie:^[3]

• Is er een bovengrens ${\displaystyle H}$ , zodat ${\displaystyle q(a,b,c)<H}$  voor alle abc-drietallen? Dit wordt ook wel de zwakke versie van het abc-vermoeden genoemd.
• Het is bekend dat er voor iedere ${\displaystyle n}$  een ${\displaystyle c}$  te vinden is zodanig dat deze ${\displaystyle c}$  in ${\displaystyle n}$  abc-drietallen voorkomt. Maar het is nog niet bekend wat de kleinste ${\displaystyle c}$  is die in ${\displaystyle n}$  drietallen voorkomt.
• Wat zijn de waarden die ${\displaystyle b{-}a}$  aan kan nemen. Kan het verschil iedere willekeurige waarde aannemen? En zijn er waarden die vaak of minder vaak voorkomen?
• Bij een abc-drietal ${\displaystyle a,b,c}$  (dus met ${\displaystyle q>1}$ ) is altijd een van de getallen deelbaar door 2, omdat twee oneven getallen opgeteld altijd even zijn. Maar is er voor elke ${\displaystyle n}$  een drietal met ${\displaystyle q>1}$ , waarbij ${\displaystyle a,b}$  en ${\displaystyle c}$  niet deelbaar zijn door ${\displaystyle 3,4,5,\ldots ,n}$ ?
• Zijn er oneindig veel abc-tweelingen, dit wil zeggen twee drietallen met gelijke ${\displaystyle c}$  en gelijke kwaliteit?

Voor iedere ${\displaystyle n}$  is er een ${\displaystyle b}$  die in ${\displaystyle n}$  abc-drietallen te vinden is, dus met ${\displaystyle q>1}$ , waarbij de drietallen tevens voldoen aan ${\displaystyle a<b}$ .^[4]

Neem namelijk ${\displaystyle b=3^{42m+27}}$  met ${\displaystyle m}$  zodanig dat ${\displaystyle b>2^{21n+18}}$  en neem voor de getallen ${\displaystyle a}$  de volgende rij van ${\displaystyle n}$  getallen: ${\displaystyle 2^{21k+18},k=0,\ldots ,n-1}$ .

Dan geldt voor elk van de ${\displaystyle n}$  tweetallen ${\displaystyle (a,b)}$ :

${\displaystyle \operatorname {rad} (a,b)=6}$ 

De getallen ${\displaystyle c}$  zijn

${\displaystyle 2^{21k+18}+3^{42n+27},k=0,\ldots ,n-1}$ 

En er geldt

${\displaystyle c=2^{21k+18}+3^{42n+27}=(2^{21})^{k}\cdot 2^{18}+(3^{42})^{n}\cdot 3^{27}=1^{k}\cdot 43+1^{j}\cdot 6=0{\pmod {49}}}$ 

Het radicaal ${\displaystyle \operatorname {rad} (a,b,c)}$  is dus maximaal ${\displaystyle {\tfrac {6}{7}}c}$  voor deze ${\displaystyle n}$  drietallen, waardoor ${\displaystyle q(a,b,c)>1}$ .

Naast de standaarddefinitie van kwaliteit is het ook mogelijk om te kijken naar het product van ${\displaystyle a,b}$  en ${\displaystyle c}$ , in plaats van alleen naar c.^[5] Nu wordt namelijk gedefinieerd:

${\displaystyle \rho (a,b,c)={\frac {\log abc}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}}$ 

Getallen ${\displaystyle a,b}$  en ${\displaystyle c=a+b}$  met een hoge waarde voor ${\displaystyle \rho }$  worden Szpiro-drietallen genoemd.

De grootste gevonden kwaliteit ${\displaystyle \rho }$  van een Szpiro-drietal is 4,41901, voor

${\displaystyle 13\times 19^{6}+2^{30}\times 5=3^{13}\times 11^{2}\times 31}$ 

• The ABC conjecture home page
• Reken Mee met ABC
• ABC@home