Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Visuele weergave van het Levi-Civita-symbool. Het levi-civita-symbool is een discrete functie van drie variabelen . Deze functie wordt genoteerd als
ϵ
i
j
k
{\displaystyle \epsilon _{ijk}}
ϵ
i
j
k
=
{
+
1
als
(
i
,
j
,
k
)
een even permutatie van
(
1
,
2
,
3
)
is.
−
1
als
(
i
,
j
,
k
)
een oneven permutatie van
(
1
,
2
,
3
)
is.
0
in andere gevallen, d.i.:
i
=
j
of
j
=
k
of
k
=
i
{\displaystyle \epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{als }}(i,j,k){\mbox{ een even permutatie van }}(1,2,3){\mbox{ is.}}\\-1&{\mbox{als }}(i,j,k){\mbox{ een oneven permutatie van }}(1,2,3){\mbox{ is.}}\\0&{\mbox{in andere gevallen, d.i.: }}i=j{\mbox{ of }}j=k{\mbox{ of }}k=i\end{matrix}}\right.}
Een permutatie is (on)even als het geschreven kan worden als een (on)even aantal transposities.
Deze functie is genoemd naar de Italiaanse wiskundige Tullio Levi-Civita (1873-1941).
Er bestaat ook een tensor -notatie voor het levi-civita-symbool:
ϵ
i
j
k
=
e
i
⋅
(
e
j
×
e
k
)
{\displaystyle \epsilon _{ijk}=\mathbf {e} ^{i}\cdot (\mathbf {e} ^{j}\times \mathbf {e} ^{k})}
e
i
{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}
e
j
{\displaystyle \mathbf {e} ^{j}}
e
k
{\displaystyle \mathbf {e} ^{k}}
Het levi-civita-symbool is dus te interpreteren als een antisymmetrische tensor .
Als we de componenten van
e
i
{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}}
e
1
i
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}^{i}}
e
2
i
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}^{i}}
e
3
i
{\displaystyle \mathbf {e} _{3}^{i}}
ϵ
i
j
k
=
|
e
1
i
e
2
i
e
3
i
e
1
j
e
2
j
e
3
j
e
1
k
e
2
k
e
3
k
|
{\displaystyle \epsilon _{ijk}={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}^{i}&\mathbf {e} _{2}^{i}&\mathbf {e} _{3}^{i}\\\mathbf {e} _{1}^{j}&\mathbf {e} _{2}^{j}&\mathbf {e} _{3}^{j}\\\mathbf {e} _{1}^{k}&\mathbf {e} _{2}^{k}&\mathbf {e} _{3}^{k}\\\end{vmatrix}}}
Er is ook een rechtstreeks verband met de kronecker-delta dat blijkt uit volgende formules:
∑
i
=
1
3
ϵ
i
j
k
ϵ
i
m
n
=
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}
∑
i
,
j
=
1
3
ϵ
i
j
k
ϵ
i
j
n
=
2
δ
k
n
{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{ijn}=2\delta _{kn}}
De functie van drie variabelen kan probleemloos uitgebreid worden naar een functie van
n
{\displaystyle n}
ϵ
i
j
k
⋯
=
{
+
1
als
(
i
,
j
,
k
,
⋯
)
een even permutatie van
(
1
,
2
,
3
,
⋯
,
n
)
is.
−
1
als
(
i
,
j
,
k
,
⋯
)
een oneven permutatie van
(
1
,
2
,
3
,
⋯
,
n
)
is.
0
in andere gevallen, d.i.:
i
=
j
of
j
=
k
of
k
=
i
of
⋯
{\displaystyle \epsilon _{ijk\cdots }=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{als }}(i,j,k,\cdots ){\mbox{ een even permutatie van }}(1,2,3,\cdots ,n){\mbox{ is.}}\\-1&{\mbox{als }}(i,j,k,\cdots ){\mbox{ een oneven permutatie van }}(1,2,3,\cdots ,n){\mbox{ is.}}\\0&{\mbox{in andere gevallen, d.i.: }}i=j{\mbox{ of }}j=k{\mbox{ of }}k=i{\mbox{ of }}\cdots \end{matrix}}\right.}
