Constante van Gelfond

Het getal ${\displaystyle e^{\pi }}$, oftewel e tot de macht ${\displaystyle \pi }$, wordt de constante van Gelfond genoemd. De numerieke waarde bedraagt bij benadering 23,1406926...

De constante kan ook geschreven worden als:

${\displaystyle (-1)^{-i}}$,

waarin ${\displaystyle i}$ de imaginaire eenheid is.

Definieert men

${\displaystyle k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

en voor ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}}$,

dan convergeert^[1]

${\displaystyle \left({\frac {4}{k_{n+1}}}\right)^{2^{-n}}}$

snel naar ${\displaystyle e^{\pi }}$.

Het getal ${\displaystyle e^{\pi }}$ is een transcendent getal. Dit werd aangetoond door Aleksander Gelfond aan de hand van de stelling van Gelfond-Schneider.

Het is opmerkelijk dat van andere combinaties van e en ${\displaystyle \pi }$ zoals ${\displaystyle \pi +e}$, ${\displaystyle \pi e}$ of ${\displaystyle \pi ^{e}}$ (nog) niet bekend is of die transcendent of zelfs maar irrationaal zijn.