Menelaja teorēma

Menelaja teorēma, nosaukta par godu Menelajam no Aleksandrijas, ir teorēma par trijstūri Eiklīda ģeometrijā. Ja dots trijstūris ABC, un krustiska taisne, kura krusto BC, AC, un AB attiecīgi punktos D, E, un F, un punkti D, E, and F nesakrīt ar A, B, un C, tad

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=-1.}$

jeb

${\displaystyle AF\times BD\times CE=-FB\times DC\times EA.}$

Šajā vienādojumā tiek lietoti virzītie nogriežņi, citiem vārdiem sakot, garums AB var būt gan pozitīvs, gan negatīvs, atkarībā no tā vai A ir pa labi, vai pa kreisi no B. Piemēram, AF/FB būs pozitīvs, ja F atradīsies starp A un B, un negatīvs, ja atradīsies ārpus nogriežņa AB.

Eksistē apgrieztā teorēma: Ja punkti D, E, un F tiek izvēlēti attiecīgi uz BC, AC, un AB tā, lai :

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=-1,}$

tad D, E, un F ir kolineāri, jeb atrodas uz vienas taisnes.

Teorēma ir ļoti līdzīga Čevas teorēmai. To vienādojumi atšķiras tikai nedaudz.

Pirmkārt, vienādojuma kreisā puse būs negatīva tikai tad, ja:

1) visi reizinātāji būs negatīvi (tas būs gadījumā, ja DEF vispār nekrustos trijstūra malas),

2) vismaz viens reizinātājs būs negatīvs un pārējie divi būs pozitīvi (tas būs gadījumā, kad DEF krustos divas trijstūra malas)

Lai pārbaudītu attiecību, konstruē perpendikulus no trijstūra virsotnēm A, B, un C uz taisnes DEF ar garumiem attiecīgi a, b, un c. Tad pēc līdzīgiem trijstūriem sanāk: |AF/FB| = |a/b|, |BD/DC| = |b/c|, un |CE/EA| = c/a. Tātad

${\displaystyle \left|{\frac {AF}{FB}}\right|\cdot \left|{\frac {BD}{DC}}\right|\cdot \left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}\right|=1.}$

Lai vienkāršāk pārbaudītu vienādības attiecību^[2], zīmē CK paralēlu AB, kur DEF krustojas ar CK punktā K. Tad izmantojot līdzīgus trijstūrus:

${\displaystyle \left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {BF}{CK}}\right|,\,\left|{\frac {AE}{EC}}\right|=\left|{\frac {AF}{CK}}\right|}$

un rezultātu iegūst, izslēdzot CK no šī vienādojuma.

Apgrieztās teorēmas pierādījums izriet no iepriekš secinātā.^[3] Ļausim D, E, un F atrasties uz taisnēm BC, AC, un AB tā , lai vienādība būtu patiesa. Ar F′ apzīmēsim punktu, kur DE krusto AB. Tad pēc teorēmas, vienādojums ir patiess arī priekš punktiem D, E, un F′. Salīdzinot abus:

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}.}$

Tikai viens punkts var sadalīt segmentu vajadzīgajā attiecībā. Tātad F=F′.

Sekojošajā pierādījumā ^[4] tiek izmantoti dažādi jēdzieni par afīno ģeometriju, bet jo īpaši homotētiju.

Neatkarīgi no tā vai D, E, un F ir kolineāri, pastāv trīs homotētijas ar centriem D, E, F, kuras attiecīgi pārveido B par C, C par A, un A par B. Šo triju kompozīcija ir homotētijas pārveidojumu grupas elements, kurš nofiksē punktu B, tātad tā ir homotētija ar centru B, ar iespējamo attiecību 1 (kura gadījumā tā ir identitāte). Šī kompozīcija nofiksē taisni DE tad un tikai tad, ja F ir kolineārs ar D un E (tāpēc, ka pirmās divas homotētijas noteikti fiksē DE, un trešā tikai tad, ja F atrodas uz DE). Tāpēc D, E, un F ir kolineāri tad un tikai tad, ja šī kompozīcija ir identitāte, kas nozīmē, ka šo triju attiecība ir vienāda ar 1:

${\displaystyle {\frac {\overrightarrow {DC}}{\overrightarrow {DB}}}\times {\frac {\overrightarrow {EA}}{\overrightarrow {EC}}}\times {\frac {\overrightarrow {FB}}{\overrightarrow {FA}}}=1,}$

kas ir ekvivalents ar doto vienādojumu.

Īsti nav zināms, kurš patiesībā atklājis šo teorēmu, kaut gan vissenākais avots, kas ir saglabājies, ir Spherics, ko uzrakstījis Menelajs. Šajā grāmatā ir redzama vienkāršota versija, kas lietota kā pierādījums sfēriskai šīs teorēmas versijai.^[5]

"Almagest" tekstā, Ptolemajs lieto šo teorēmu vairākām problēmām, kas skar sfērisko astronomiju.^[6] Islāma zelta gados musulmaņu zinātnieki veltīja vairākus darbus par Menelaja teorēmu, kuros atsaucās uz teorēmu par sekantēm (shakl al-qatta'). Al-Biruni darbs The Keys of Astronomy, kas satur vairākus no šiem darbiem, varētu tikt klasificēts studijās kā daļa no komentāriem par Ptolemaja "Almagest". Tāpat arī al-Nayrizi un al-Khazin darbos, kuri katrs demonstrē atsevišķus Menelaja teorēmas gadījumus, kuri norāda uz sinusu teorēmu^[7] vai darbiem, kas radīti kā atsevišķi traktāti, piemēram:

• "Traktāts par Sekantes Figūrām" (Risala fi shakl al-qatta'), ko uzrakstījis Thabit ibn Qurra.^[6]
• Husama al-Din al-Salarasa darbs "Noņemot plīvuru no sekantes figūru mistērijām" (Kashf al-qina' 'an asrar al-shakl al-qatta'), zināms arī kā "Grāmata par sekantes figūrām" (Kitab al-shakl al-qatta'), vai arī Eiropā pazīstams kā "The Treatise on the Complete Quadrilateral". Pazudušie traktāti tiek piedēvēti al-Tusi un Nasir al-Din al-Tusi.^[6]
• Darbs, ko uzrakstījis al-Sijzi.^[7]
• Tahdhib, ko uzrakstījis Abu Nasr ibn Iraq.^[7]
• Roshdi Rashed un Athanase Papadopoulos, "Menelaja Sfēras": Agrākie tulkojumi un al-Mahani'/al-Harawisa versija (Menelaja sfēras arābu manuskriptos ar vēsturiskiem un matemātiskiem komentāriem), De Gruyter, Sērija: Scientia Graeco-Arabica, 21, 2017, 890 lappuses. ISBN 978-3-11-057142-4

• Vikikrātuvē par šo tēmu ir pieejami multivides faili. Skatīt: Menelaja teorēma.

• Encyclopædia Britannica raksts (angliski)
• Alternate proof of Menelaus's theorem, from PlanetMath
• Menelaus From Ceva
• Ceva and Menelaus Meet on the Roads
• Menelaus and Ceva at MathPages
• Demo of Menelaus's theorem by Jay Warendorff. The Wolfram Demonstrations Project.
• Eric W. Weisstein, Menelaus' Theorem, MathWorld.