Copia

• Copiae denotari solent parenthesibus "{" et "}" usurpatis initium aut finem copiae indicentibus. Sunt duae formae copiae: una elementa enumerans, exemplo {1,2} aut {Gaius, Petrus, Marcus}. Altera elementa describens variabili vel variabilibus et sententia vel sententiis usa: Ad quae elementa sententia sequens (praedicatum) pertinet, ante symbolis : aut | notatur variabilibus in parenthesibus "(" et ")" iterum adiectis. Ergo: ${\displaystyle \lbrace x:\ S(x)\rbrace .}$  Si ${\displaystyle x_{0}}$  elementum huius copiae sit (id est: valet praedicatum variabili ${\displaystyle x_{0}}$ ), notatur ${\displaystyle x_{0}\in \lbrace x:S(x)\rbrace .}$ 

• Tales ${\displaystyle x}$  solent esse in copia superiore (id est: cuncta elementa quae illi etiam huic aliis fortasse addiditis insunt). Sit ${\displaystyle X}$  talis copia superior, tum scribi solet ${\displaystyle \lbrace x\in X:S(x)\rbrace .}$  Ut indicatur X talem esse copiam superiorem, scribi solet ${\displaystyle X\supset \lbrace x\in X:S(x)\rbrace }$  aut ${\displaystyle \lbrace x\in X:S(x)\rbrace \subset X.}$ 

• Copia cui nulla elementa insunt vacua vel inanis appellatur. Notatur symbolis ${\displaystyle \lbrace \rbrace }$  vel ${\displaystyle \emptyset .}$ 

• Copiae duae ${\displaystyle A,B}$  eaedem vel aequae appellantur, si copiae alteri ${\displaystyle A}$  eadem elementa ac alteri copiae ${\displaystyle B}$  insunt. Aequivalens, si ${\displaystyle A\subset B}$  et ${\displaystyle B\subset A}$ . Ergo: ${\displaystyle A=B\Leftrightarrow A\subset B\land B\subset A.}$ 

• Coniunctioni duarum pluriumve copiarum omnia elementa e quaquam illarum insunt. Notatur symbolo ${\displaystyle \cup }$ . Ergo: Sint ${\displaystyle A=\lbrace x:S_{1}(x)\rbrace }$  et
  ${\displaystyle B=\lbrace y:S_{2}(y)\rbrace .}$  Tum:
  ${\displaystyle A\cup B=\lbrace z:S_{1}(z){\text{ vel }}S_{2}(z)\rbrace =\lbrace z:S_{1}(z)\lor S_{2}(z)\rbrace =\lbrace x\in A\lor y\in B\rbrace .}$ 

• Sectioni duarum pluriumve copiarum sola ea elementa insunt, quae in unaquaquam eorum inveniuntur. Notatur symbolo ${\displaystyle \cap }$ . Ergo: Sint
  ${\displaystyle A=\lbrace x:S_{1}(x)\rbrace }$  et ${\displaystyle B=\lbrace y:S_{2}(y)\rbrace .}$  Tum:
  ${\displaystyle A\cap B=\lbrace z:S_{1}(z){\text{ atque }}S_{2}(z)\rbrace =\lbrace z:S_{1}(z)\land S_{2}(z)\rbrace =\lbrace x\in A\land y\in B\rbrace .}$ 

• Differentiae duarum copiarum ${\displaystyle A}$  et ${\displaystyle B}$  elementa ex ${\displaystyle A}$  sola insunt quae copiae ${\displaystyle B}$  non insunt. Notatur symbolo \. Ergo: Sint ${\displaystyle A=\lbrace x:S_{1}(x)\rbrace }$  et
  ${\displaystyle B=\lbrace y:S_{2}(y)\rbrace .}$  Tum:
  ${\displaystyle A\setminus B=\lbrace z:S_{1}(z){\text{ atque non }}S_{2}(z)\rbrace =\lbrace z:S_{1}(z)\land \neg S_{2}(z)\rbrace =\lbrace x\in A\land y\notin B\rbrace .}$ 

• Productum Cartesianum duarum copiarum ${\displaystyle A}$  et ${\displaystyle B}$ , quod cruce ${\displaystyle \times }$  denotatur, est copia haec: ${\displaystyle A\times B=\lbrace (x/y):x\in A{\text{ atque }}y\in B\rbrace =\lbrace (x/y):x\in A\land y\in B\rbrace .}$ 

Definitones super descriptae visuales per diagrammata Venniana factae:

•  
  ${\displaystyle A\subset B}$ 
  Copia A est copiae B inferior
•  
  ${\displaystyle A\cup B}$ 
  Coniunctio copiarum A et B
•  
  ${\displaystyle A\cap B}$ 
  Sectio copiarum A et B.
•  
  ${\displaystyle A\setminus B}$ 
  Differentia copiarum A et B

Sint ${\displaystyle A=\lbrace 1,2,4,7\rbrace }$  et ${\displaystyle B=\lbrace 1,3,5,7,9\rbrace }$ .

Tum:

• ${\displaystyle A\cup B=\lbrace 1,1,2,3,4,5,7,7,9\rbrace =\lbrace 9,7,1,2,3,4,5\rbrace .}$  Licet enim elementa semel vel compluries scribere. Ne ordo quidem interest.

• ${\displaystyle A\cap B=\lbrace 1,7\rbrace .}$ 

• ${\displaystyle A\setminus B=\lbrace 2,4\rbrace .}$ 

• ${\displaystyle A\times B=\lbrace (1/1),(1/3),(1/5),(1/7),(1/9),(2/1),(2/3),(2/5),(2/7),(2/9),(4/1),(4/3),(4/5),(4/7),(4/9),(7/1),(7/3),(7/5),(7/7),(7/9)\rbrace .}$ 

Aequatio aliqua ut copia describens denotari potest et solutio eius aequationis copia enumerans est. Quae saepe - praecipue in scholis - copia solutionum appellatur. Aequatio quadratica exemplo:

${\displaystyle \lbrace x\in \mathbb {R} :x^{2}-2x-3=0\rbrace =\lbrace -1;3\rbrace .}$ 

• Algebra Booleana
• Carteva
• Copia vacua
• N-plex
• Theoria copiarum

• De copiis in encyclopaedia Wolfram MathWorld (Anglice)