사각뿔수

수학에서 사각뿔수(영어: square pyramidal number)는 사각뿔 모양으로 배열된 공의 수를 나타내며, 처음 몇 자연수의 제곱합을 나타내는 수다. 또한 사각수의 부분합 수열을 이룬다.

정의

$n$ 번째 (3차원) 사각뿔수 $\operatorname {Pyr} (3,4;n)$ 는 다음과 같이 정의된다.

\operatorname {Pyr} (3,4;n)=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n

증명:

항등식

(k+1)^{3}-k^{3}=3k^{2}+3k+1

에 $k=1,2,3,\cdots ,n$ 을 대입하면 다음을 얻는다.

2^{3}-1^{3}=3\times 1^{2}+3\times 1+1

3^{3}-2^{3}=3\times 2^{2}+3\times 2+1

4^{3}-3^{3}=3\times 3^{2}+3\times 3+1

\vdots

(n+1)^{3}-n^{3}=3n^{2}+3n+1

이들을 합하면 다음을 얻는다.

{\begin{aligned}(n+1)^{3}-1&=3(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2})+3(1+2+3+\cdots +n)+n\\&=3\sum _{k=1}^{n}k^{2}+{\frac {3n(n+1)}{2}}+n\end{aligned}}

이를 정리하면 사각뿔수의 일반항을 얻는다.

처음 몇 사각뿔수는 (0번째 항부터 시작할 경우) 다음과 같다.

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, ... (OEIS의 수열 A000330)

다음과 같은 항등식이 성립한다.^[1]

\operatorname {Pyr} (3,4;n)={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}

즉, 사각뿔수는 두 이웃하는 사면체수의 합과 같다. 이는 사각수가 두 이웃하는 삼각수의 합인 것과 유사하다.

다음과 같은 항등식이 성립한다.

\operatorname {Pyr} (3,4;n)={\frac {1}{4}}{\binom {2n+2}{3}}

즉, 사각뿔수는 (상수배를 무시하면) 짝수째 사면체수와 일치한다.

다음과 같은 항등식이 성립한다.

\operatorname {Pyr} (3,4;n)={\binom {n+3}{4}}-{\binom {n+1}{4}}

즉, 사각뿔수는 한 항을 사이에 둔 두 오포체수의 차와 같다.

사각뿔수의 생성 함수는 다음과 같다.

\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {Pyr} (3,4;n)x^{n}={\frac {x(x+1)}{(x-1)^{4}}}

삼각수인 사각뿔수와 이들의 사각뿔수로서의 번호는 정확히 각각 다음과 같다.

[0,] 1, 55, 91, 208335 (OEIS의 수열 A039596)

[0,] 1, 5, 6, 85 (OEIS의 수열 A053611)

제곱수인 사각뿔수는 0, 1, 4900이 유일하다. 이들은 각각 0, 1, 24번째 사각뿔수이다.

사각뿔수가 세제곱수 또는 네제곱수 또는 다섯제곱수인 경우는 0, 1뿐이다.

↑ Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996). 《The Book of Numbers》 (영어). New York, NY: Copernicus. doi:10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN 978-1-4612-8488-8.

Weisstein, Eric Wolfgang. “Square pyramidal number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.