정규 공간

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 임의의 두 서로소 닫힌집합이 서로소 근방으로 분리되며, ${\displaystyle E,F\subseteq X}$가 서로소 닫힌집합이라고 가정하자. 우선, 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합 ${\displaystyle \{U_{r}\}_{r\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }}$를 구성하자.

${\displaystyle \forall r,s\in [0,1]\cap \mathbb {Q} \colon r<s\implies \operatorname {cl} U_{r}\subseteq U_{s}}$

${\displaystyle E\subseteq U_{0}\subseteq U_{1}=X\setminus F}$

이를 위해, ${\displaystyle [0,1]}$ 속의 유리수 전체의 열

${\displaystyle r(0)=0,r(1)=1,r(2),r(3),\dotsc }$

을 취하자. 수학적 귀납법을 사용하여, ${\displaystyle n}$개의 열린집합 ${\displaystyle \{U_{r(0)},U_{r(1)},\dotsc ,U_{r(n-1)}\}}$이 위 두 조건을 만족시킨다고 하자. ${\displaystyle r(p)<r(n)<r(q)}$인, ${\displaystyle r(n)}$과 가장 가까운 ${\displaystyle r(p),r(q)\in \{r(0),r(1),\dotsc ,r(n-1)\}}$을 취하자. ${\displaystyle \operatorname {cl} U_{r(p)}\subseteq U_{r(q)}}$이므로, ${\displaystyle \operatorname {cl} U_{r(p)}}$와 ${\displaystyle X\setminus U_{r(q)}}$는 서로소 닫힌집합이며, 따라서 서로소 열린 근방으로 분리된다. 즉,따라서

${\displaystyle \operatorname {cl} U_{r(p)}\subseteq U_{r(n)}\subseteq \operatorname {cl} U_{r(n)}\subseteq U_{r(q)}}$

인 열린집합 ${\displaystyle U_{r(n)}\subseteq X}$가 존재한다. 따라서, ${\displaystyle n+1}$개의 열린집합 ${\displaystyle \{U_{r(0)},U_{r(1)},\dotsc ,U_{r(n)}\}}$은 위 두 조건을 만족시킨다.

이제, 다음 함수를 생각하자.

${\displaystyle f\colon X\to [0,1]}$

${\displaystyle f\colon x\mapsto \inf\{r\in [0,1]\cap \mathbb {Q} \colon x\in U_{r}\}}$

이 함수가 ${\displaystyle f|_{E}=0}$, ${\displaystyle f|_{F}=1}$을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 ${\displaystyle f}$가 연속 함수임을 증명하는 일만 남았다. 임의의 ${\displaystyle y\in (0,1)}$에 대하여, ${\displaystyle f^{-1}([0,y))}$ 및 ${\displaystyle f^{-1}((y,1])}$가 열린집합임을 증명하는 것으로 충분하다. ${\displaystyle f(x)<y}$라고 하자. ${\displaystyle f(x)<r<y}$인 유리수 ${\displaystyle r}$를 취하자. 그렇다면 ${\displaystyle U_{r}}$는 ${\displaystyle x}$의 열린 근방이며,

${\displaystyle f(U_{r})\subseteq [0,r]\subseteq [0,y)}$

이다. 즉, ${\displaystyle f^{-1}([0,y))}$는 열린집합이다. 이제 ${\displaystyle f(x)>y}$라고 하자. 유리수 ${\displaystyle f(x)>r>s>y}$를 취하자. 그렇다면 ${\displaystyle x\not \in U_{r}}$이며, ${\displaystyle \operatorname {cl} U_{s}\subseteq U_{r}}$이므로 ${\displaystyle x\not \in \operatorname {cl} U_{s}}$이다. 따라서, ${\displaystyle X\setminus \operatorname {cl} U_{s}}$는 ${\displaystyle x}$의 열린 근방이며,

${\displaystyle f(X\setminus \operatorname {cl} U_{s})\subseteq f(X\setminus U_{s})\subseteq [s,1]\subseteq (y,1]}$

이다. 즉, ${\displaystyle f^{-1}((y,1])}$은 열린집합이다.

반대로, 임의의 서로소 닫힌집합 ${\displaystyle E,F\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle f|_{E}=0}$, ${\displaystyle f|_{F}=1}$인 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$가 존재한다고 가정하자. 그렇다면

${\displaystyle U=f^{-1}([0,1/2))}$

${\displaystyle V=f^{-1}((1/2,1])}$

는 서로소 열린집합이며, ${\displaystyle E\subseteq U}$, ${\displaystyle F\subseteq V}$이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 임의의 서로소 닫힌집합이 서로소 근방을 통해 분리되며, 임의의 닫힌집합 ${\displaystyle E\subseteq X}$ 및 연속 함수 ${\displaystyle f\colon E\to [-1,1]}$가 주어졌다고 가정하자. 그렇다면,

${\displaystyle A_{0}=f^{-1}([-1,-1/3])}$

${\displaystyle B_{0}=f^{-1}([1/3,1])}$

은 ${\displaystyle E}$의 닫힌집합이므로, ${\displaystyle X}$의 서로소 닫힌집합이다. 우리손 보조정리에 따라, ${\displaystyle f_{0}|_{A_{0}}=-1/3}$, ${\displaystyle f_{0}|_{B_{0}}=1/3}$인 연속 함수 ${\displaystyle f_{0}\colon X\to [-1/3,1/3]}$가 존재한다. 이 경우

${\displaystyle \sup _{x\in E}|f(x)-f_{0}(x)|\leq 2/3}$

이다. 마찬가지로, 연속 함수 ${\displaystyle f-f_{0}|_{E}\colon E\to [-2/3,2/3]}$ 및

${\displaystyle A_{1}=(f-f_{0}|_{E})^{-1}([-2/3,-2/9])}$

${\displaystyle B_{1}=(f-f_{0}|_{E})^{-1}([2/9,1/3])}$

에 대하여, ${\displaystyle f_{1}|_{A_{1}}=-2/9}$, ${\displaystyle f_{1}|_{B_{1}}=2/9}$인 연속 함수 ${\displaystyle f_{1}\colon X\to [-2/9,2/9]}$가 존재하며, 이는

${\displaystyle \sup _{x\in E}|f(x)-f_{0}(x)-f_{1}(x)|\leq 4/9}$

를 만족시킨다. 위 과정을 반복하면 다음 조건을 만족시키는 연속 함수의 열 ${\displaystyle (f_{i}\colon X\to [-(1/3)(2/3)^{i},(1/3)(2/3)^{i}])_{i=0}^{\infty }}$을 얻는다.

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon \sup _{x\in E}\left|f(x)-\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x)\right|\leq (2/3)^{n+1}}$

이제,

${\displaystyle {\tilde {f}}=\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}\colon X\to [-1,1]}$

라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\tilde {f}}}$는 균등 수렴하므로 연속 함수이며, ${\displaystyle {\tilde {f}}|_{E}=f}$이다.

이제, 위상 공간 ${\displaystyle X}$의 임의의 서로소 닫힌집합이 서로소 근방을 통해 분리되며, 임의의 닫힌집합 ${\displaystyle E\subseteq X}$ 및 (유계 함수일 필요가 없는) 연속 함수 ${\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} }$가 주어졌다고 가정하자. 위상동형사상 ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to (-1,1)}$을 취하자. 그렇다면, ${\displaystyle g\circ f\colon E\to (-1,1)}$은 연속 함수이므로, ${\displaystyle h|_{E}=g\circ f}$인 연속 함수 ${\displaystyle h\colon X\to [-1,1]}$이 존재한다.

${\displaystyle F=h^{-1}(\{-1,1\})}$

이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle F}$는 닫힌집합이며, ${\displaystyle E\cap F=\varnothing }$이므로, ${\displaystyle k|_{E}=1}$, ${\displaystyle k|_{F}=0}$인 연속 함수 ${\displaystyle k\colon X\to [-1,1]}$이 존재한다. 이 경우 ${\displaystyle h\cdot k\colon X\to (-1,1)}$은 연속 함수이며, ${\displaystyle (h\cdot k)|_{E}=g\circ f}$이다. 따라서,

${\displaystyle {\tilde {f}}=g^{-1}\circ (h\cdot k)\colon X\to \mathbb {R} }$

는 ${\displaystyle f}$의 연속 확장이다.

반대로, 임의의 닫힌집합 ${\displaystyle E\subseteq X}$ 위의 연속 함수 ${\displaystyle E\to [a,b]}$(또는 ${\displaystyle E\to \mathbb {R} }$)가 연속 확장 ${\displaystyle X\to [a,b]}$(또는 ${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$)를 가지며, ${\displaystyle E,F\subseteq X}$가 서로소 닫힌집합이라고 가정하자. 그렇다면, ${\displaystyle E\cup F}$는 닫힌집합이며,

${\displaystyle E\cup F\to [0,1]}$

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}0&x\in E\\1&x\in F\end{cases}}}$

는 연속 함수이다. 따라서, 이는 연속 확장 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$를 갖는다. 이 경우,

${\displaystyle U=f^{-1}((-\infty ,1/2))}$

${\displaystyle V=f^{-1}((1/2,\infty ))}$

는 ${\displaystyle E}$와 ${\displaystyle F}$의 서로소 열린 근방이다.

편의상 ${\displaystyle f}$가 전사 함수라고 하자. 임의의 서로소 닫힌집합 ${\displaystyle E,F\subseteq Y}$에 대하여, ${\displaystyle X}$가 정규 공간이므로,

${\displaystyle f^{-1}(E)\subseteq U}$

${\displaystyle f^{-1}(F)\subseteq V}$

인 서로소 열린집합 ${\displaystyle U,V\subseteq X}$가 존재한다. 그렇다면

${\displaystyle E\subseteq Y\setminus f(X\setminus U)}$

${\displaystyle F\subseteq Y\setminus f(X\setminus V)}$

이며, ${\displaystyle f}$가 닫힌 함수이므로 ${\displaystyle Y\setminus f(X\setminus U),Y\setminus f(X\setminus V)\subseteq Y}$는 서로소 열린집합이다. 따라서, ${\displaystyle Y}$는 정규 공간이다.