素数階乗

素数階乗（そすうかいじょう、英: Primorial）とは、 $2$ 以上の自然数に対してそれ以下の素数全ての総乗のことである。自然数 $n$ の素数階乗は、記号では $n #$ で表す。

2# = 2

3# = 3 \times 2 = 6

4# = 3# = 6

5# = 5 \times 3# = 30

6# = 5# = 30

これらから分かるように $n #$ は、 $n$ 以下の最大の素数を $p$ として、 $p #$ に等しい。 $p$ に素数の値を小さい順に代入していくことより、素数階乗の値は小さい順に^[1]

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, \dots

数学的性質

証明：最大の素数の存在を仮定し、それを

p max

とおくと、

p max # + 1

は

p max

以下の素数で割り切れない。仮定より

p max # + 1

未満の素数は以上で全てなので

p max # + 1

は 1 と自分自身以外の因数を持たないことが言える。したがって

p max # + 1

は素数でなければならないことになるが、これは

p max

を最大の素数とした仮定に反する。したがって最大の素数は存在しない。（証明終）

実際には、素数

p

に対する

p # + 1

は素数であることもあれば、合成数であることもある。素数である例としては

11# + 1 = 2311

などが、合成数である例としては

13# + 1 = 30031 = 59 \times 509

などがある。いずれにせよ、

p # + 1

の素因子は全て

p

よりも大きい。

720 = 2 2 \times 6 1 \times 30 1

素数階乗数の最初の1個〜10個を下記する。

p 01 # = 0 2# = 0000000000002

p 02 # = 0 3# = 0000000000006

p 03 # = 0 5# = 0000000000030

p 04 # = 0 7# = 0000000000210

p 05 # = 11# = 00000000 2 310

p 06 # = 13# = 0000000 30 030

p 07 # = 17# = 000000 510 510

p 08 # = 19# = 0000 9 699 690

p 09 # = 23# = 00 223 092 870

p 10 # = 29# = 6 469 693 230

次に11個〜20個を下記する。

p 11 # = 31# = 00000000000000000000 200 560 490 130

p 12 # = 37# = 000000000000000000 7 420 738 134 810

p 13 # = 41# = 0000000000000000 304 250 263 527 210

p 14 # = 43# = 0000000000000 13 082 761 331 670 030

p 15 # = 47# = 000000000000 614 889 782 588 491 410

p 16 # = 53# = 000000000 32 589 158 477 190 044 730

p 17 # = 59# = 000000 1 922 760 350 154 212 639 070

p 18 # = 61# = 0000 117 288 381 359 406 970 983 270

p 19 # = 67# = 00 7 858 321 551 080 267 055 879 090

p 20 # = 71# = 557 940 830 126 698 960 967 415 390