Sia . Si scelgono due reali , tali che . Ciò è possibile, poiché è un aperto di .
Si definiscono due funzioni e come segue:
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in modo che:
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Si prova facilmente che, fissati e nei rispettivi intervalli:
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Inoltre, applicando due volte il teorema di Lagrange:
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e analogamente:
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con e , dove per comodità di scrittura si sono assunti .
Facendo tendere e a (e quindi anche e ), siccome le derivate seconde miste sono continue, si ha , cioè la tesi.
Sia:
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Entrambe le derivate parziali prime sono continue. Risulta rispettivamente :
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queste due funzioni sono ulteriormente derivabili e le derivate miste sono:
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Quindi .
Esempio di funzione con derivate parziali miste diverse
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L'ipotesi di continuità delle derivate parziali seconde miste è sufficiente.[1] Quindi per avere un esempio di funzione con derivate seconde parziali miste differenti, essa deve avere tali derivate non continue come nel seguente esempio (dovuto a Peano). Data la funzione continua:
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Si hanno derivate parziali prime continue:
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Ma le derivate seconde miste non sono continue e sono diverse, infatti:
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Dunque .
- ^ Hubbard, John; Hubbard, Barbara, Vector Calculus, Linear Algebra and Differential Forms (5th ed.), p. 732–733.
- Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi matematica due, Liguori, 1996, ISBN 8820726750.
- (EN) H. Kleinert, Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation (PDF), World Scientific, 2008, ISBN 978-981-279-170-2.