Teorema di Radon-Nikodym

Il teorema di Radon–Nikodym afferma che se una misura ${\displaystyle \nu }$  su uno spazio misurabile ${\displaystyle (X,\Sigma )}$  è assolutamente continua rispetto ad una misura ${\displaystyle \mu }$  sigma-finita sullo stesso spazio, allora esiste una funzione misurabile ${\displaystyle f}$  definita su ${\displaystyle X}$  a valori non negativi tale che:^[1]

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}fd\mu }$ 

per ogni insieme ${\displaystyle A\in \Sigma }$ .

Il teorema è stato dimostrato da Johann Radon nel 1913 nel caso ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$  e generalizzato da Otto Nikodym nel 1930.

La funzione ${\displaystyle f}$  si dice derivata di Radon-Nikodym di ${\displaystyle \nu }$  rispetto ${\displaystyle \mu }$  e si indica con ${\displaystyle d\nu \over d\mu }$ .

La derivata di Radon-Nikodym gode delle seguenti proprietà:

• Se ${\displaystyle \nu \ll \mu }$  e ${\displaystyle \lambda \ll \mu }$  allora:

${\displaystyle {d(\nu +\lambda ) \over d\mu }={d\nu \over d\mu }+{d\lambda \over d\mu }}$ 

• Se ${\displaystyle \nu \ll \mu \ll \sigma }$  allora:

${\displaystyle {d\nu \over d\sigma }={d\nu \over d\mu }{d\mu \over d\sigma }}$ 

• Se g è una funzione ${\displaystyle \nu }$ -integrabile su X e ${\displaystyle \nu \ll \mu }$ , con ${\displaystyle f=d\nu /d\mu }$  allora:

${\displaystyle \int gd\nu =\int gfd\mu }$ 

• Se ${\displaystyle \nu }$  è una misura con segno o complessa finita allora:

${\displaystyle {d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|}$ 

La dimostrazione riportata nel seguito si svolge nell'ambito della teoria della misura. Esiste un'altra dimostrazione, dovuta a John von Neumann, ambientata in spazi di Hilbert.

Per mostrare l'esistenza della derivata di Radon-Nikodym, siano ${\displaystyle \mu }$  e ${\displaystyle \nu }$  misure finite non negative, e sia ${\displaystyle F}$  l'insieme delle funzioni misurabili ${\displaystyle f:X\to [0,+\infty )}$  che soddisfano:

${\displaystyle \int _{A}f\,d\mu \leq \nu (A)\qquad \forall A\in \Sigma }$ 

L'insieme ${\displaystyle F}$  non è vuoto, poiché contiene almeno la funzione nulla. Siano ${\displaystyle f_{1},f_{2}\in F}$ , ${\displaystyle A}$  un insieme misurabile e:

${\displaystyle A_{1}=\{x\in A:f_{1}(x)>f_{2}(x)\}\qquad A_{2}=\{x\in A:f_{2}(x)\geq f_{1}(x)\}}$ 

Allora si ha:

${\displaystyle \int _{A}\max\{f_{1},f_{2}\}\,d\mu =\int _{A_{1}}f_{1}\,d\mu +\int _{A_{2}}f_{2}\,d\mu \leq \nu (A_{1})+\nu (A_{2})=\nu (A)}$ 

e dunque ${\displaystyle \max\{f_{1},f_{2}\}\in F}$ .

Sia ora ${\displaystyle \{f_{n}\}}$  una successione di funzioni in ${\displaystyle F}$  tali che:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu }$ 

Sostituendo ${\displaystyle f_{n}}$  con il max delle prime n funzioni si può assumere che la successione ${\displaystyle \{f_{n}\}}$  è crescente. Sia ${\displaystyle g}$  la funzione definita come:

${\displaystyle g(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ 

Per mostrare che ${\displaystyle g}$  è la funzione cercata, cioè che il suo integrale su ${\displaystyle A}$  rispetto a ${\displaystyle \mu }$  vale esattamente ${\displaystyle \nu (A)}$ , si nota che dal teorema della convergenza monotona per l'integrale di Lebesgue:

${\displaystyle \int _{A}g\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu \leq \nu (A)\qquad \forall A\in \Sigma }$ 

e quindi ${\displaystyle g\in F}$ . Inoltre, dalla costruzione di ${\displaystyle g}$  segue:

${\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu }$ 

Dato che ${\displaystyle g\in F}$  succede che la scrittura:

${\displaystyle \nu _{0}(A):=\nu (A)-\int _{A}g\,d\mu }$ 

definisce una misura non negativa su ${\displaystyle \Sigma }$ . Supponendo quindi per assurdo ${\displaystyle \nu _{0}\neq 0}$ , dato che ${\displaystyle \mu }$  è finita c'è un ${\displaystyle \varepsilon >0}$  tale che ${\displaystyle \nu _{0}(X)>\varepsilon \mu (X)}$ . Sia allora ${\displaystyle (P,N)}$  la decomposizione di Hahn per la misura con segno ${\displaystyle \nu _{0}-\varepsilon \mu }$ . Per ogni ${\displaystyle A\in \Sigma }$  si ha:

${\displaystyle \nu _{0}(A\cap P)\geq \varepsilon \mu (A\cap P)}$ 

e quindi:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (A)&=\int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A)\geq \int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A\cap P)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\varepsilon \mu (A\cap P)=\int _{A}(g+\varepsilon 1_{P})\,d\mu \\\end{aligned}}}$ 

dove ${\displaystyle 1_{P}}$  è la funzione indicatrice relativa all'insieme ${\displaystyle P}$ .^[2] Essendo che:

${\displaystyle \int _{X}(g+\varepsilon 1_{P})\,d\mu \leq \nu (X)<+\infty }$ 

la funzione ${\displaystyle g+\varepsilon 1_{P}\in F}$  e soddisfa:

${\displaystyle \int _{X}(g+\varepsilon 1_{P})\,d\mu >\int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu }$ 

ma questo è impossibile, e quindi l'assunzione iniziale che ${\displaystyle \nu _{0}\neq 0}$  deve essere falsa.

Dato che ${\displaystyle g}$  è μ-integrabile, l'insieme ${\displaystyle \{x\in X:g(x)=+\infty \}}$  è μ-nullo. Quindi ${\displaystyle f}$  è definita come:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&{\text{se }}g(x)<\infty \\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}}$ 

e possiede le proprietà richieste.

Come per l'esistenza, siano ${\displaystyle f,g:X\to [0,+\infty )}$  due funzioni misurabili che soddisfano:

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu =\int _{A}g\,d\mu }$ 

per ogni insieme misurabile ${\displaystyle A}$ . Quindi ${\displaystyle g-f}$  è integrabile rispetto a ${\displaystyle \mu }$  e:

${\displaystyle \int _{A}(g-f)\,d\mu =0}$ 

In particolare, questo succede per ${\displaystyle A=\{x\in X:f(x)>g(x)\}}$  o ${\displaystyle A=\{x\in X:f(x)<g(x)\}}$ . Segue che:

${\displaystyle \int _{X}(g-f)^{+}\,d\mu =0=\int _{X}(g-f)^{-}\,d\mu }$ 

sicché ${\displaystyle (g-f)^{+}=0}$  quasi ovunque. Accade lo stesso per ${\displaystyle (g-f)^{-}}$ , e così ${\displaystyle f=g}$  quasi ovunque.

Se ${\displaystyle \mu }$  e ${\displaystyle \nu }$  sono σ-finite, allora ${\displaystyle X}$  può essere scritto come l'unione di una successione ${\displaystyle \{B_{n}\}_{n}}$  di insiemi disgiunti in ${\displaystyle \Sigma }$ , ognuno dei quali ha misura finita sia rispetto a ${\displaystyle \mu }$  che ${\displaystyle \nu }$ . Per ogni n esiste una funzione ${\displaystyle \Sigma }$ -misurabile ${\displaystyle f_{n}:B_{n}\to [0,+\infty )}$  tale che:

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f_{n}\,d\mu }$ 

per ogni sottoinsieme ${\displaystyle A\in B_{n}}$  che è ${\displaystyle \Sigma }$ -misurabile. L'unione ${\displaystyle f}$  di tali funzioni è la funzione richiesta. Come per l'unicità, dato che ogni ${\displaystyle f_{n}}$  è unica quasi ovunque (relativamente a ${\displaystyle \mu }$ ), lo è anche ${\displaystyle f}$ .

  Lo stesso argomento in dettaglio: Misura con segno e Misura complessa.

Se ${\displaystyle \nu }$  è una misura σ-finita con segno, si può utilizzare la decomposizione di Hahn–Jordan ${\displaystyle \nu =\nu ^{+}-\nu ^{-}}$  dove una delle due misure è finita. Applicando i precedenti risultati si ottengono due funzioni ${\displaystyle g,h:X\to [0,+\infty )}$  che soddisfano il teorema di Radon–Nikodym per ${\displaystyle \nu ^{+}}$  e ${\displaystyle \nu ^{-}}$  rispettivamente, di cui almeno una è μ-integrabile. La funzione ${\displaystyle f=g-h}$  soddisfa le proprietà richieste, compresa l'unicità in quanto sia ${\displaystyle g}$  che ${\displaystyle h}$  sono uniche quasi ovunque.

Se ${\displaystyle \nu }$  è complessa, può essere decomposta come ${\displaystyle \nu =\nu _{1}+i\nu _{2}}$ , dove sia ${\displaystyle \nu _{1}}$  che ${\displaystyle \nu _{2}}$  sono misure finite con segno. Procedendo come sopra, si ottengono due funzioni ${\displaystyle g,h:X\to [0,+\infty )}$  che soddisfano le proprietà richieste per ${\displaystyle \nu _{1}}$  e ${\displaystyle \nu _{2}}$  rispettivamente. La funzione cercata è dunque ${\displaystyle f=g+ih}$ .

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• Georgij Evgen'evič Šilov, e B.L. Gurevich, Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, tradotto da Richard A. Silverman, Dover Publications, 1978, ISBN 0-486-63519-8.

• Continuità assoluta
• Funzione misurabile
• Misura (matematica)
• Misura complessa
• Misura con segno
• Misura di probabilità
• Teorema di decomposizione di Hahn

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Radon-Nikodym, su MathWorld, Wolfram Research.  

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