Numero piramidale quadrato

È possibile osservare che:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=k+1}^{n}i}$ 

infatti questo è un modo per raggruppare diversamente i quadrati.

Facciamo un esempio, prendendo il caso n=5.

${\displaystyle 0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=}$ 

${\displaystyle 1+2+3+4+5+}$ 

${\displaystyle 2+3+4+5+}$ 

${\displaystyle 3+4+5+}$ 

${\displaystyle 4+5+}$ 

${\displaystyle 5}$ 

da questa rappresentazione si può notare che, così facendo, si rappresenta 5 volte il numero cinque, 4 volte il numero quattro e così via, fino a rappresentare 0 volte il numero zero. Si è quindi riscritta la somma dei quadrati in un altro modo. A questo punto, ricordando il risultato già noto:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}}$ 

e che

${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}-{\frac {k(k-1)}{2}}}$ 

(poiché :${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}i=\sum _{i=0}^{n}i-\sum _{i=0}^{k-1}i}$  )

si può scrivere:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=\sum _{k=0}^{n-1}[{\frac {n(n+1)}{2}}-{\frac {k(k+1)}{2}}]}$ 

da cui:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)}{2}}(\sum _{k=0}^{n-1}1)-{\frac {1}{2}}(\sum _{k=0}^{n-1}k^{2})-{\frac {1}{2}}(\sum _{k=0}^{n-1}k)}$ 

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n^{2}(n+1)}{2}}-{\frac {1}{2}}(\sum _{k=0}^{n-1}k^{2})-{\frac {n(n-1)}{4}}}$ 

considerando che:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}k^{2}=(\sum _{k=0}^{n}k^{2})-n^{2}}$ 

si può portare la sommatoria a primo membro, ottenendo:

${\displaystyle {\frac {3}{2}}\sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n^{2}(n+1)}{2}}-{\frac {n(n-1)}{4}}+{\frac {n^{2}}{2}}}$ 

da cui facilmente si ricava che:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}.}$ 

I numeri piramidali possono anche essere espressi come somme di coefficienti binomiali:

${\displaystyle {\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}+{\frac {(n-1)n(n+1)}{6}}={\frac {n(n+1)(n-1+n+2)}{6}}.}$ 

Inoltre l'n-esimo numero piramidale è un quarto del 2n-esimo numero tetraedrico:

${\displaystyle {\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n(2n+2)(2n+1)}{4\cdot 6}}={\frac {1}{4}}T_{2n}.}$ 

La somma di due numeri piramidali quadrati è un numero ottaedrico.

Oltre a 1, l'unico altro numero che è contemporaneamente un quadrato e un numero piramidale quadrato è 4900, il 70º numero quadrato e il 24º numero piramidale. Questo è stato dimostrato da George Neville Watson nel 1918.

Gli unici numeri che sono contemporaneamente piramidali quadrati e triangolari sono 1, 55, 91 e 208.335.

1 è anche il solo numero che sia contemporaneamente piramidale quadrato e tetraedrico.

Un comune rompicapo matematico consiste nel trovare il numero di quadrati in una griglia n×n. Si può osservare che:

• il numero di quadrati 1x1 nella griglia è ${\displaystyle n^{2}}$ ;
• il numero di quadrati 2x2 nella griglia è ${\displaystyle (n-1)^{2}}$ : questo numero può essere trovato considerando che ogni incrocio, eccetto quelli della riga più in basso e della colonna più a destra, è l'angolo in alto a sinistra di un quadrato contenuto nella griglia;
• analogamente, il numero di quadrati k×k (per ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ) nella griglia è ${\displaystyle (n-k+1)^{2}}$ .

Segue quindi che il numero di quadrati in una griglia n×n è

${\displaystyle x=n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots +1^{2}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}},}$ 

ovvero l'n-esimo numero piramidale quadrato.

• Quadrato (algebra)
• Sommatoria

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero piramidale quadrato, su MathWorld, Wolfram Research.  

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