Regola della funzione reciproca

La derivata del reciproco di una funzione è un rapporto avente come numeratore l'opposto della derivata della funzione e come denominatore il quadrato della funzione.

${\displaystyle D\left[{\frac {1}{f(x)}}\right]={\frac {-f'(x)}{f(x)^{2}}},}$ 

dove ${\displaystyle D[f(x)]}$  e${\displaystyle f'(x)}$  sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.

È necessario che, nel punto in cui si calcola la derivata, la funzione non sia nulla.

Scrivendo il rapporto incrementale della funzione ${\displaystyle {1 \over g(x)}}$  otteniamo:

${\displaystyle D\left[{1 \over g(x)}\right]=\lim _{h\to 0}{{1 \over g(x+h)}-{1 \over g(x)} \over h}=\lim _{h\to 0}{g(x)-g(x+h) \over g(x+h)g(x)}\cdot {1 \over h}=\lim _{h\to 0}{g(x)-g(x+h) \over h}\cdot {1 \over g(x+h)g(x)}.}$ 

Ora, l'argomento del primo limite è l'opposto del rapporto incrementale di ${\displaystyle g,}$ 

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{g(x)-g(x+h) \over h}=\lim _{h\to 0}\left(-{g(x+h)-g(x) \over h}\right)=-g'(x);}$ 

mentre il secondo fattore, per la continuità della ${\displaystyle g,}$  "commuta" con l'operazione di limite, dunque si ha:

${\displaystyle D\left[{1 \over g(x)}\right]=-g'(x)\cdot {1 \over g(x)g(x)}={-g'(x) \over g(x)^{2}}.}$ 

Alternativamente, utilizzando la regola della catena, ponendo ${\displaystyle f(x)=x^{-1}}$  possiamo determinare la derivata come:

${\displaystyle D[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)=-g(x)^{-2}\cdot g'(x)={-g'(x) \over g(x)^{2}}.}$ 

Posto ${\displaystyle g(x)={\frac {1}{x}}}$ , ricordiamo che ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{f(x)}}=(g\circ f)(x)}$ , e quindi

${\displaystyle \displaystyle D\left[{\frac {1}{f(x)}}\right]=D\left[(g\circ f)(x)\right].}$ 

Se applichiamo al secondo membro della precedente equazione la regola della catena (poiché ${\displaystyle D\left[{\frac {1}{x}}\right]=-{\frac {1}{x^{2}}}}$ ), otteniamo che

${\displaystyle D\left[{\frac {1}{f(x)}}\right]=-{\frac {1}{f(x)^{2}}}\cdot D[f(x)].}$ 

Applicando la regola del quoziente, consideriamo ${\displaystyle f(x)=1}$  e dunque

${\displaystyle D\left[{1 \over g(x)}\right]={D[1]\cdot g(x)-1\cdot g'(x) \over g(x)^{2}}={0\cdot g(x)-g'(x) \over g(x)^{2}}={-g'(x) \over g(x)^{2}}.}$ 

• Regole di derivazione
• Regola del quoziente

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