Operatore normale

Dato uno spazio di Hilbert ${\displaystyle H}$  definito sul campo dei numeri complessi, un endomorfismo ${\displaystyle N:H\to H}$  si dice normale se:^[2]

${\displaystyle N\,N^{*}=N^{*}N}$ 

In modo equivalente, ${\displaystyle N}$  è normale se e solo se:

${\displaystyle \|N(v)\|=\|N^{*}(v)\|\quad \forall v\in H}$ 

Si ha inoltre che:

${\displaystyle {\textrm {Ker}}(N^{*})={\textrm {Ker}}(N)}$ 

${\displaystyle {\textrm {Im}}(N^{*})={\textrm {Im}}(N)}$ 

Tra gli endomorfismi normali vi sono gli endomorfismi autoaggiunti, gli endomorfismi emisimmetrici e gli endomorfismi unitari.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema spettrale.

Gli operatori normali sono soggetti al teorema spettrale: gli autovalori, in questo caso, sono in generale numeri complessi.

Sia ${\displaystyle T}$  un operatore lineare su uno spazio vettoriale complesso ${\displaystyle V}$  di dimensione finita ${\displaystyle n}$ , dotato di un prodotto hermitiano, cioè di una forma hermitiana definita positiva. Il teorema spettrale afferma che ${\displaystyle T}$  è un operatore normale se e solo se esiste una base ortonormale di ${\displaystyle V}$  composta da autovettori di ${\displaystyle T}$ .^[2] L'endomorfismo ${\displaystyle T}$  è quindi diagonalizzabile.

Nel linguaggio matriciale, il teorema afferma che ogni matrice normale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice unitaria, ovvero per ogni matrice normale ${\displaystyle H}$  esistono una matrice unitaria ${\displaystyle U}$  ed una diagonale ${\displaystyle D}$  per cui:

${\displaystyle D=U^{-1}HU=\,^{t}\!{\bar {U}}HU}$ 

I vettori colonna di ${\displaystyle U}$  sono gli autovettori di ${\displaystyle A}$  e sono reciprocamente ortogonali.

Come corollario segue che l'operatore ${\displaystyle T}$  è autoaggiunto se e solo se la base ortonormale conta solo autovalori reali, mentre se ${\displaystyle T}$  è unitario il modulo degli autovalori è 1. In particolare, gli autovalori di una matrice hermitiana sono tutti reali, mentre quelli di una matrice unitaria sono di modulo 1.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Diagonalizzabilità.

Il teorema spettrale fornisce le condizioni per cui sia possibile diagonalizzare un operatore rispetto ad una base ortonormale. Quando questo risulta possibile nel caso finito-dimensionale, ad autovalori distinti corrispondono autovettori mutuamente ortogonali, e pertanto gli autospazi sono in somma diretta. Un operatore normale può, di conseguenza, essere scritto come una combinazione lineare di proiettori ortogonali sugli autospazi, i cui coefficienti sono gli autovalori relativi ad ogni autospazio.

Nel caso infinito-dimensionale la normalità, ed in particolare l'autoaggiuntezza, non garantisce la diagonalizzabilità. In generale un operatore normale non può essere più scritto come combinazione lineare di proiettori ortogonali. Attraverso la misura a valori di proiettore è tuttavia possibile ottenere una scrittura integrale che permette di descrivere l'operatore in termini del suo spettro.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Proiezione ortogonale.

Come conseguenza del teorema spettrale, sia nel caso reale che nel caso complesso, il teorema di decomposizione spettrale afferma che gli autospazi di ${\displaystyle T}$  sono ortogonali e in somma diretta:

${\displaystyle V=V_{\lambda _{1}}\oplus \ldots \oplus V_{\lambda _{k}}}$ 

Equivalentemente, se ${\displaystyle P_{\lambda }}$  è la proiezione ortogonale su ${\displaystyle V_{\lambda }}$ , si ha:

${\displaystyle A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{k}P_{\lambda _{k}}\qquad P_{\lambda }P_{\mu }=0\quad \lambda \neq \mu }$ 

La decomposizione spettrale è un caso particolare della decomposizione di Schur. È anche un caso particolare della decomposizione ai valori singolari.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Misura a valori di proiettore e Diagonalizzabilità.

Sia ${\displaystyle A}$  un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert ${\displaystyle H}$ . Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore ${\displaystyle P^{A}}$  tale per cui:

${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}zdP^{A}(x,y)\qquad z:=(x,y)\to x+iy\in \mathbb {C} \quad (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ 

dove ${\displaystyle \sigma (A)={\mbox{supp}}(P^{A})}$  è lo spettro di ${\displaystyle A}$ . Si dice che ${\displaystyle P^{A}}$  è la misura a valori di proiettore associata ad ${\displaystyle A}$ .

In particolare, se ${\displaystyle A}$  è un operatore autoaggiunto si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

${\displaystyle P^{A}(\Omega )=\chi _{\Omega }(A)}$ 

definita sullo spettro ${\displaystyle \sigma (A)}$  di ${\displaystyle A}$ , in cui ${\displaystyle \chi _{\Omega }}$  è la funzione indicatrice. Tale misura può essere univocamente associata ad ${\displaystyle A}$  nel seguente modo:

${\displaystyle (\phi ,f(A)\psi ):=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )d(\phi ,P^{A}(\lambda )\psi )\quad \forall \phi ,\psi \in H}$ 

per ogni funzione misurabile limitata ${\displaystyle f}$ , e in tal caso si ha:

${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda dP^{A}\qquad f(A)=\int _{\sigma (A)}f(\lambda )dP^{A}}$ 

La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di ${\displaystyle A}$ .^[3]

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) ${\displaystyle A}$  a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare ${\displaystyle A}$  tramite una misura a valori di proiettore limitata ${\displaystyle P^{A}}$  allora ${\displaystyle P^{A}}$  è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad ${\displaystyle A}$ . Ogni operatore limitato autoaggiunto ${\displaystyle A}$  può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata ${\displaystyle P^{A}}$ .

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

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