Numero armonico

I numeri armonici sono strettamente collegati a quelli che si possono chiamare numeri armonici alternati

${\displaystyle H'_{n}:=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}}$  .

Questi sono le somme troncate della serie armonica alternata notoriamente convergente e sono esprimibili mediante i numeri armonici dalle formule

${\displaystyle H'_{2n}=H_{2n}-H_{n}\qquad H'_{2n+1}=H_{2n}-H_{n}+{\frac {1}{2n+1}}}$ 

I numeri armonici (e quindi anche i numeri armonici alternati) si possono esprimere analiticamente come

${\displaystyle \,H_{n}=\gamma +\Psi (n+1)}$ 

mediante la costante di Eulero - Mascheroni e la funzione digamma (e di conseguenza mediante la funzione gamma)

${\displaystyle \Psi (z)\equiv \psi _{0}(z):={\frac {d}{dz}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}.}$ 

Il concetto di numero armonico può essere generalizzato con la seguente definizione.

Fissati due interi naturali m ed n, si definisce come n-esimo numero armonico generalizzato di esponente m la somma:

${\displaystyle H_{n}^{(m)}:=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}}$ 

Si può notare che i numeri armonici sono il caso particolare di numeri armonici generalizzati di esponente 1.

Per m negativi, si ottiene la somma di potenze di interi successivi

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{|m|}}$ 

che è strettamente legata ai polinomi di Bernoulli.

I numeri armonici e i numeri armonici generalizzati che li comprendono si incontrano in numerose aree della matematica riferibili alla combinatoria e allo studio delle funzioni speciali. Essi intervengono nello studio di funzioni speciali particolari, ad es. della funzione poligamma della funzione polilogaritmo e della funzione zeta di Riemann; essi inoltre si incontrano in recenti sviluppi di elevata generalità, come le questioni collegate all'approssimazione di Hermite-Padé.

• R. L. Graham, D. E. Knuth and O. Patashnik (1990): Concrete Mathematics, Addison-Wesley, p. 259.
• D. E. Knuth: The Art of Computer Programming. Addison-Wesley, Vol. 1, p. 615.

• Identità con numeri armonici

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• Numero armonico, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) harmonic number, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Harmonic Number, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Harmonic number, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.  

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