Modello a media mobile

In generale il modello viene indicato con MA(q) sta ad indicare una media mobile di ${\displaystyle q}$  termini passati:

${\displaystyle z_{t}=\alpha _{t}-\omega _{1}\alpha _{t-1}-\ldots -\omega _{q}\alpha _{t-q},}$ 

in cui i parametri ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{q}}$  sono costanti e ${\displaystyle \alpha _{t}}$  è termine di errore, questa volta presente come regressore nelle ${\displaystyle q}$  unità temporali considerate.

Dal momento che ${\displaystyle q}$  è un numero intero, e quindi il processo è composto da un numero finito di termini, questo basta a garantire la stazionarietà dei processi MA(q). La media di un MA(q) è zero poiché questo processo, senza intercetta, si riconduce ad una combinazione lineare di variabili casuali di tipo white noise con media pari a zero. L'autocovarianza, sarà espressa in questo caso da una forma del tipo:

${\displaystyle \gamma (k)=(-\omega _{k}+\omega _{1}\omega _{k+1}+\omega _{2}\omega _{k+2}+\ldots +\omega _{q}\omega _{q-k})\sigma _{\alpha }^{2},}$ 

con ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,q}$ . Per cui risulta:

${\displaystyle \gamma (k)>0,}$  con ${\displaystyle -q\leq k\leq q.}$ 

La stazionarietà si evince proprio dall'assenza, in ciascuno di questi momenti del processo, di una dipendenza con ${\displaystyle t}$ . In definitiva si ha un processo MA(1) espresso dalla relazione:

${\displaystyle z_{t}=\alpha _{t}-\omega _{1}\alpha _{t-1}.}$ 

Tale equazione può essere espressa anche tramite lag operator come segue:

${\displaystyle z_{t}=(1-\phi B)X_{t}=\alpha _{t}.}$ 

• G.E.P. Box e G.M. Jenkins, Time series analysis: Forecasting and control, San Francisco, Holden-Day, 1970
• S. Makridakis, S.C. Wheelwright e R.J. Hyndman, Forecasting: methodsand applications, New York, John Wiley & Sons, 1998
• A. Pankratz, Forecasting with univariate Box–Jenkins models: concepts and cases, New York, John Wiley & Sons, 1983
• Domenico Piccolo, Introduzione all'analisi delle serie storiche, Carocci, 1990.
• E Bee Dagum, Analisi delle serie storiche: modellistica, previsione e scomposizione, Springer, 2002.

• Modello autoregressivo
• ARIMA
• Modello autoregressivo a media mobile

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