Matrice trasposta coniugata

Data una matrice ${\displaystyle A}$ , indicando con ${\displaystyle A^{T}}$  la sua trasposta e con l'asterisco ${\displaystyle *}$  l'operazione di coniugazione complessa di tutti i suoi elementi, la trasposta coniugata ${\displaystyle A^{\dagger }}$  è data da:

${\displaystyle A^{\dagger }=(A^{T})^{*}=(A^{*})^{T}}$ 

In termini degli elementi vale la relazione:

${\displaystyle (A^{\dagger })_{jk}=A_{kj}^{*}}$ 

cioè se j è l'indice di riga e k quello di colonna:

${\displaystyle A_{kj}^{*}=A_{jk}^{\dagger }}$ 

Ad esempio:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3+9i&2+i\\7-6i&1-3i\end{pmatrix}}\qquad A^{\dagger }={\begin{pmatrix}3-9i&7+6i\\2-i&1+3i\end{pmatrix}}}$ 

Valgono le seguenti proprietà:

${\displaystyle \left(A^{\dagger }\right)^{\dagger }=A\qquad \left(A+B\right)^{\dagger }=A^{\dagger }+B^{\dagger }\qquad \left(cA\right)^{\dagger }=c^{*}\cdot A^{\dagger }\qquad \left(A\cdot B\right)^{\dagger }=B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }}$ 

e in generale:

${\displaystyle \left(A\cdot B\cdot C\cdot D...\right)^{\dagger }=...D^{\dagger }\cdot C^{\dagger }\cdot B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }}$ 

Dalle precedenti proprietà si può ricavare

${\displaystyle \left(A^{\dagger }\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\dagger }=A^{-\dagger }}$ ;

infatti

${\displaystyle A^{\dagger }\left(A^{\dagger }\right)^{-1}=I_{n}=I_{n}^{\dagger }=\left(A^{-1}A\right)^{\dagger }=A^{\dagger }\left(A^{-1}\right)^{\dagger }.}$ 

L'uguaglianza segue perciò dall'unicità della matrice inversa.

Denotando con ${\displaystyle \langle \cdot \,,\cdot \rangle }$  il prodotto hermitiano standard fra vettori di ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ :

${\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle u,A^{\dagger }v\rangle \qquad \langle u,Av\rangle ^{*}=\langle v,A^{\dagger }u\rangle }$ 

  Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice hermitiana.

Una matrice coincidente con la sua trasposta coniugata è detta matrice hermitiana (o matrice autoaggiunta). Una tale matrice induce un prodotto hermitiano

${\displaystyle \phi (u,v)=(u,Av)}$ 

Ad esempio, dalle proprietà viste in precedenza segue che il numero:

${\displaystyle (u,Au)=(u,Au)^{*}}$ 

è reale.

Ogni matrice quadrata complessa ${\displaystyle A}$  può essere sempre scritta come somma di una matrice hermitiana e una antihermitiana:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left(A+A^{\dagger }\right)+{\frac {1}{2}}\left(A-A^{\dagger }\right)}$ 

• (EN) F.R. Gantmakher, Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959)
• (EN) B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)

• Matrice (matematica)
• Matrice hermitiana
• Matrice antihermitiana
• Matrice normale
• Matrice simmetrica
• Numero complesso
• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto
• Quoziente di Rayleigh
• Glossario sulle matrici

• (EN) Eric W. Weisstein, Conjugate Transpose, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) T.S. Pogolkina, Adjoint matrix, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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