Legge di Ohm

Non è corretto chiamare l'equazione "legge di Ohm", poiché è sostanzialmente la definizione di resistenza e fornisce una relazione tra la differenza di potenziale, la corrente e la resistenza. La legge di Ohm non è una legge fondamentale della natura, ma una relazione empirica applicabile solamente per certi materiali e certi dispositivi, e soltanto limitatamente ad alcune condizioni.^[2]

Nel gennaio 1781, prima del lavoro di Georg Ohm, Henry Cavendish condusse degli esperimenti con una bottiglia di Leida e dei tubi di vetro di vari diametri e lunghezza riempiti con soluzioni saline. Egli misurò la corrente annotando la scossa elettrica che percepiva quando chiudeva il circuito con il suo corpo. Cavendish scrisse che la velocità (corrente) era proporzionale al grado di elettrificazione (differenza di potenziale), ma scrisse tali annotazioni senza comunicarlo alla comunità scientifica del suo tempo^[3] e il suo risultato rimase sconosciuto fino a quando Maxwell lo pubblicò nel 1879^[4]. Nel 1814 F. Ronalds trovò la legge di proporzionalità tra corrente e differenza di potenziale usando una pila a secco.

Qualche anno dopo, tra il 1825 e il 1826, Ohm condusse i suoi esperimenti pubblicando i risultati in un libro^[5]. All'epoca era nota la legge di Fourier sulla conduzione termica ed a tale legge si ispirò chiaramente Ohm. Per i suoi esperimenti, utilizzò inizialmente una pila di Volta, ma in seguito usò una termocoppia che forniva una differenza di potenziale più stabile e una resistenza interna costante. Per misurare la corrente usò un galvanometro. La differenza di potenziale della termocoppia era derivata indirettamente dalla misura della differenza di temperatura tra gli estremi della termocoppia. Il circuito era chiuso da fili di vari materiali di diversa lunghezza e sezione.

 

In termini moderni si può dimostrare che l'esperimento eseguito è schematizzabile con la figura a lato.

Il risultato si può esprimere in notazione moderna come: ${\textstyle I={\frac {\mathcal {E}}{r+R}}}$ , dove ${\textstyle I}$  è la corrente misurata dal galvanometro, ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$  è la forza elettromotrice della termocoppia a circuito aperto, ${\textstyle R}$  è la resistenza da misurare mentre ${\displaystyle r}$  rappresenta la resistenza interna della termocoppia (per Ohm era una costante necessaria per giustificare i risultati).

La legge di Ohm fu probabilmente una delle più importanti descrizioni quantitative della fisica dell'elettricità, ma quando Ohm pubblicò il suo risultato fu criticato dalla società scientifica del tempo tanto da essere definita una rete di fantasie^[6] e il ministro tedesco dell'istruzione affermò che "un professore che predicava simili eresie non era degno di insegnare scienza"^[7]. L'approccio alla scienza da parte della filosofia in Germania, in quegli anni, era che non vi era necessità di fare esperimenti per capire la natura, in quanto la natura è perfettamente ordinata, quindi la verità scientifica può essere dedotta da ragionamenti.^[8] Solo 15 anni dopo la legge di Ohm fu largamente accettata. In ogni caso, l'importanza di Ohm fu riconosciuta prima della sua morte.

L'elettrone fu scoperto da J. J. Thomson solo nel 1897, e si capì rapidamente che era il portatore di carica nei conduttori. Nel 1900 fu infatti proposto il modello di Drude che utilizzando la fisica classica spiegava microscopicamente la legge di Ohm. Seguendo tale modello, gli elettroni si muovono con una velocità proporzionale al campo elettrico (la velocità di deriva) a causa delle collisioni con il reticolo cristallino, che determinano una forza viscosa. Solo nel 1927 Arnold Sommerfeld considerò la natura quantistica degli elettroni per elaborare un nuovo modello che prese il suo nome. Tale modello, analogamente a quello di Drude, considera gli elettroni nei metalli delle particelle libere ma soggette alla statistica di Fermi-Dirac.

Matematicamente assume la seguente forma:^[9]

${\textstyle V=R\cdot I}$ 

dove:

• ${\textstyle I}$  è la corrente che attraversa il conduttore,
• ${\textstyle V}$  è la differenza di potenziale,
• ${\textstyle R}$  è la resistenza.

Nel sistema internazionale la corrente si misura in ampere, la differenza di potenziale in volt e la resistenza in ohm.

Più specificatamente, la legge di Ohm stabilisce che la resistenza ${\textstyle R}$  in questa relazione è costante, cioè indipendente dalla corrente.

Più la resistenza del conduttore è alta, minore sarà l'intensità di corrente che lo attraversa, si evince quindi che, a parità di d.d.p. applicata, la corrente è inversamente proporzionale alla resistenza. Invece, più la tensione è alta, maggiore è la forza esercitata sulle cariche elettriche, che vengono così messe in moto, conseguentemente, a parità del valore resistivo, la tensione è direttamente proporzionale all'intensità di corrente.

Esiste un'espressione vettoriale della legge di Ohm, dovuta a Gustav Robert Kirchhoff:^[10]

${\textstyle E=\rho \cdot {J}}$ 

dove le grandezze vettoriali che intervengono localmente sono:

• ${\textstyle J}$  è la densità di corrente,
• ${\textstyle E}$  è il campo elettrico nello stesso punto,
• ${\displaystyle \rho }$  è una grandezza che dipende dal materiale detta resistività.

Gli elementi circuitali che utilizzano la legge di Ohm vengono chiamati resistori.

Nei conduttori le cariche libere si muovono come in un mezzo molto viscoso. Dalla meccanica del punto, se la viscosità è molto elevata il sistema raggiunge rapidamente la condizione di velocità di deriva, in quanto la fase di accelerazione del moto avviene in un tempo trascurabile. Da un punto di vista della dinamica del punto materiale, a regime, se ${\textstyle \mathbf {E} }$  è il campo elettrico presente localmente, ${\textstyle q}$  è la carica dei portatori di carica (normalmente gli elettroni), la forza di trascinamento ${\textstyle q\mathbf {E} }$  viene bilanciata dalla forza d'attrito viscoso ${\textstyle -m\mathbf {v} _{d}/\tau }$ . Dunque ${\textstyle q\mathbf {E} -m\mathbf {v} _{d}/\tau =0}$ .

Definendo con ${\textstyle \mathbf {v} _{d}}$  la velocità di deriva, ${\textstyle m}$  la massa dei portatori di carica e ${\displaystyle \tau }$  è il tempo medio tra gli urti. Dalla definizione di densità di corrente elettrica si ha che ${\textstyle \mathbf {v} _{d}={\frac {\mathbf {J} }{nq}}}$  . Sostituendo, si ottiene ${\textstyle q\mathbf {E} =m{\frac {\mathbf {J} }{nq\tau }}}$ , da cui risulta la legge di Ohm in forma microscopica:

${\textstyle \mathbf {E} ={\frac {m}{nq^{2}\tau }}\mathbf {J} =\rho \mathbf {J} \qquad \quad (1)}$ 

dove ${\textstyle \rho ={\frac {m}{nq^{2}\tau }}}$  viene detta resistività elettrica che dipende dalle proprietà microscopiche del materiale.

L'inverso della resistività elettrica viene chiamata conduttività elettrica:

${\textstyle \sigma ={\frac {1}{\rho }}}$ 

Nel caso di conduttori in cui siano presenti portatori di carica di diversa natura come i semiconduttori, è più semplice usare la conduttività per descrivere i fenomeni di conduzione.

Si consideri un cilindro conduttore di lunghezza ${\textstyle \ell }$ , sezione normale ${\textstyle S}$  e resistività ${\textstyle \rho }$ . Se si applica una differenza di potenziale ${\textstyle V}$  tra gli estremi:

${\displaystyle |E|\ell =V\ }$ 

Inoltre:

${\displaystyle |J|S=I\ }$ 

Sostituendo tale quantità nella espressione microscopica (1), proiettando nella direzione della velocità di deriva, si ha che:

${\displaystyle {\frac {V}{\ell }}={\frac {\rho I}{S}}\ \qquad \quad (2)}$ 

Da cui se si definisce con

${\displaystyle R=\rho {\frac {\ell }{S}}\ \qquad \quad (3)}$ ,

la resistenza del conduttore, si può riscrivere la (2) come

${\displaystyle V=IR\ \qquad \quad (4)}$ 

che è la legge di Ohm in forma macroscopica.

Se il conduttore non è a sezione costante ed al limite la resistività varia con la posizione la generalizzazione della eq.(3) porta a:

${\displaystyle R=\int _{0}^{\ell }\rho (x){\frac {dx}{S(x)}}\ \qquad \quad (5)}$ 

Spesso invece della resistenza elettrica si utilizza il suo inverso la conduttanza elettrica ${\displaystyle G}$ , in tale caso la legge di Ohm:

${\displaystyle I=GV}$ 

Nel caso di un filo a sezione costante si ha:

${\displaystyle G={\frac {I}{V}}=\sigma {\frac {S}{\ell }}}$ 

La resistività elettrica nei metalli varia approssimativamente in maniera lineare con la temperatura secondo la legge:

${\displaystyle \rho =\rho _{0}(1+\alpha T)\ }$ 

Con ${\displaystyle \alpha \ }$  detto coefficiente di temperatura, ${\displaystyle \rho _{0}\ }$  la resistività alla temperatura di riferimento (comunemente ${\displaystyle 0\,\mathrm {^{o}C} }$ ).

 

Tipo	Sostanza	${\displaystyle \rho \,[\Omega \cdot \mathrm {m} ]\ }$	${\displaystyle \alpha \,[\mathrm {^{o}C^{-1}} ]\ }$
Conduttore	Ag	${\displaystyle 1.6\cdot 10^{-8}\ }$	${\displaystyle 0.0038\ }$
Conduttore	Cu	${\displaystyle 1.7\cdot 10^{-8}\ }$	${\displaystyle 0.0039\ }$
Conduttore	Al	${\displaystyle 2.8\cdot 10^{-8}\ }$	${\displaystyle 0.0039\ }$
Conduttore	Fe	${\displaystyle 1\cdot 10^{-7}\ }$	${\displaystyle 0.005\ }$
Conduttore	NiCr	${\displaystyle 1\cdot 10^{-6}\ }$	${\displaystyle 0.0004\ }$
Semiconduttore	Si	${\displaystyle 0.001-640\ }$	${\displaystyle -0.075\ }$
Isolante	Legno	${\displaystyle \approx 10^{8}\ }$	${\displaystyle \ \ }$
Isolante	Vetro	${\displaystyle \approx 10^{12}\ }$	${\displaystyle \ \ }$
Isolante	Quarzo	${\displaystyle 7.5\cdot 10^{17}\ }$	${\displaystyle \ \ }$
Isolante	Teflon	${\displaystyle 10^{22}-10^{24}\ }$	${\displaystyle \ \ }$

In tabella sono date le resistività e i coefficienti di temperatura di alcune sostanze a temperatura ambiente. Volutamente sono state messe nella tabella dei metalli, tutti con resistività molto bassa, ed altri materiali. La figura mostra la resistività dell'alluminio che in un grande intervallo di temperatura ha una dipendenza lineare con la temperatura, in genere, per altri metalli, la linearità vale in un intervallo più limitato di temperatura. La distinzione tra conduttori ed isolanti diventa quantitativa con la definizione di resistività elettrica come appare chiaro dalla tabella. Mentre la legge di Ohm, vale senza limitazione nei conduttori, purché la temperatura sia mantenuta costante, nelle altre sostanze la validità è limitata al fatto che il campo elettrico localmente sia molto inferiore alla rigidità dielettrica del mezzo.

 

Si immagini di avere ${\displaystyle n\ }$  resistenze ciascuna di valore ${\displaystyle R_{i}\ }$  poste in parallelo come mostrato in figura. Si definisce come ${\displaystyle I_{i}\ }$  la corrente che scorre in ciascun resistore. La d.d.p. (differenza di potenziale) ${\displaystyle V_{i}\ }$  ai capi di ogni resistenza sarà eguale, mentre la corrente totale ${\displaystyle I\ }$  è data dalla somma delle correnti che scorrono nei vari resistori, a causa della prima legge di Kirchhoff:

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}I_{i}\ }$ 

Ma dalla legge di Ohm applicata ad ogni resistore:

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}{\frac {V}{R_{i}}}=V\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{R_{i}}}\ }$ 

Quindi il parallelo di ${\displaystyle n\ }$  resistori si comporta come un'unica resistenza equivalente il cui reciproco vale:

${\displaystyle {\frac {1}{R_{e}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{R_{i}}}}$ 

 

Si immagini di avere ${\displaystyle n\ }$  resistenze in serie di valore ${\displaystyle R_{i}\ }$  come mostrato in figura. Si definisce con ${\displaystyle V_{i}\ }$  la d.d.p ai capi di ogni resistenza. La d.d.p. totale è pari alla d.d.p. ai capi del sistema sarà la somma delle d.d.p. dei singoli elementi. La corrente che scorre nei vari resistori è eguale a causa di quello nelle condizioni stazionarie per i fili percorsi da corrente. Da cui segue che:

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}V_{i}=I\sum _{i=1}^{n}R_{i}\ }$ 

Quindi la serie di ${\displaystyle n\ }$  resistenze equivale ad una resistenza equivalente pari alla somma dei singoli elementi:

${\displaystyle R_{e}=\sum _{i=1}^{n}R_{i}\ }$ 

  Lo stesso argomento in dettaglio: Corrente alternata.

La legge di Ohm può essere applicata al caso di corrente alternata, cioè un campo elettrico variabile nel tempo con un andamento sinusoidale. Per i circuiti in corrente alternata tensione e corrente sono date da:

${\displaystyle {\bar {V}}=V_{0}\sin(\omega t+\phi )\qquad {\bar {I}}=I_{0}\sin(\omega t+\phi )}$ 

dove ${\textstyle V_{0}}$  e ${\textstyle I_{0}}$  sono le ampiezze, ${\textstyle \omega }$  è la pulsazione e ${\textstyle \phi }$  la fase.

Quando tensione e corrente sono funzioni del tempo, come in questo caso, si deve tenere conto degli effetti capacitivi ed induttivi del materiale o del circuito, e per descrivere l'energia scambiata con il materiale si ricorre all'utilizzo di un numero complesso ${\textstyle {\bar {Z}}}$ , detto impedenza, tale che si abbia:

${\displaystyle {\bar {V}}={\bar {Z}}\cdot {\bar {I}}}$ 

dove le quantità in gioco sono scalari in ${\textstyle \mathbb {C} }$ .

L'impedenza può allora essere scritta come:

${\displaystyle {\bar {Z}}=R+iX=Z_{0}e^{i\arg({\bar {Z}})}=Z_{0}\cos(\arg({\bar {Z}}))+iZ_{0}\sin(\arg({\bar {Z}}))\qquad Z_{0}=|{\bar {Z}}|}$ 

e la sua parte reale ${\textstyle R}$  è la resistenza, mentre la parte immaginaria ${\textstyle X}$  è detta reattanza:

${\displaystyle R=Z_{0}\cos(\arg({\bar {Z}}))\qquad X=Z_{0}\sin(\arg({\bar {Z}}))}$ 

L'argomento ${\textstyle \arg({\bar {Z}})}$  quantifica lo sfasamento tra campo elettrico e corrente:

${\displaystyle \arg({\bar {Z}})=\tan ^{-1}\left({\frac {X}{R}}\right)\qquad Z_{0}={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}}$ 

La reattanza tiene conto dei fenomeni di accumulo di energia elettromagnetica all'interno del materiale, che non si verificano in regime stazionario. La legge di Ohm estesa al caso non stazionario descrive quindi il comportamento di un componente circuitale passivo che, oltre a ostacolare il passaggio di corrente, provoca uno sfasamento tra corrente e tensione (nel caso stazionario non vi è sfasamento e l'equazione di Ohm contiene solo numeri reali).

I componenti circuitali passivi fondamentali sono, oltre alla resistenza, la capacità ${\displaystyle C}$  e l'induttanza ${\textstyle L}$ . La capacità sfasa la corrente di ${\textstyle -\pi /2}$  rispetto al campo, l'induttanza di ${\textstyle +\pi /2}$ . Denotando con il pedice la rispettiva impedenza, essa vale:

${\displaystyle {\bar {Z}}_{R}=R\qquad {\bar {Z}}_{L}=j\omega L\qquad {\bar {Z}}_{C}={\frac {1}{j\omega C}}}$ 

e la legge di Ohm - applicata rispettivamente a resistenza, induttanza e capacità - ha la forma:

${\displaystyle {\bar {V}}_{R}=R\;{\bar {I}}\qquad {\bar {V}}_{L}=j\omega L\;{\bar {I}}\qquad {\bar {V}}_{C}={\frac {1}{j\omega C}}\;{\bar {I}}}$ 

La legge di Ohm viene generalizzata nella maggior parte dei materiali. È una legge meno generale delle equazioni di Maxwell e in alcuni materiali non vale. Nei metalli la legge ha un carattere universale, mentre negli isolanti vale solo per campi elettrici locali deboli perché in questi materiali la velocità di deriva degli elettroni può raggiungere valori molto elevati e in questo caso si ha la rottura dielettrica.

La legge di Ohm è stata osservata su diverse scale di dimensioni. All'inizio del ventesimo secolo si credeva che la legge di Ohm dovesse perdere la sua validità per dimensioni paragonabili alla spaziatura atomica, ma nel 2012 si è dimostrato sperimentalmente che una striscia di silicio di un atomo di spessore e quattro atomi di larghezza rispetta ancora la legge di Ohm.^[12]

• Enrico Turchetti, Romana Fasi, Elementi di Fisica, 1ª ed., Zanichelli, 1998, ISBN 88-08-09755-2.
• Raymond A. Serway e John W. Jewett, Principi di fisica, Edises, 2015, p. 701, ISBN 978-8879598644.
• (EN) Paul Tipler, Physics for Scientists and Engineers: Vol. 2: Electricity and Magnetism, Light, 4th ed., W. H. Freeman, 1998, ISBN 1-57259-492-6.
• (EN) Raymond Serway e John Jewett, Physics for Scientists and Engineers, 6 ed., Brooks Cole, 2003, ISBN 0-534-40842-7.
• (EN) Wayne M. Saslow, Chapter 8, in Electricity, Magnetism, and Light, Thomson Learning, 2002, pp. 255–259, ISBN 0-12-619455-6.
• Lawrence Lerner, Fisica 3 Elettromagnatismo Ottica, Zanichelli, 2002, ISBN 9788808052551.

•   Wikiversità contiene risorse sulla legge di Ohm
•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla legge di Ohm

• (EN) Ohm’s law, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Opere riguardanti Ohm's law, su Open Library, Internet Archive.  
• en Applet sulla legge di Ohm
• Approfondimenti sulla legge di Ohm, su elettronicafaidate.it.

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