Indice di correlazione di Pearson

Date due variabili statistiche ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$ , l'indice di correlazione di Pearson è definito come la loro covarianza divisa per il prodotto delle deviazioni standard delle due variabili:

${\displaystyle \rho _{XY}={\frac {\sigma _{XY}}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}.}$ 

dove ${\displaystyle \sigma _{XY}}$  è la covarianza tra ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$  e ${\displaystyle \sigma _{X},\sigma _{Y}}$  sono le due deviazioni standard.

Il coefficiente assume sempre valori compresi tra ${\displaystyle -1}$  e ${\displaystyle 1:}$ ^[5]

${\displaystyle -1\leq \rho _{XY}\leq 1.}$ 

Nella pratica si distinguono vari "tipi" di correlazione.

• Se ${\displaystyle \rho _{XY}>0}$ , le variabili ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$  si dicono direttamente correlate, oppure correlate positivamente;
• se ${\displaystyle \rho _{XY}=0}$ , le variabili ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$  si dicono incorrelate;
• se ${\displaystyle \rho _{XY}<0}$ , le variabili ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$  si dicono inversamente correlate, oppure correlate negativamente.

Inoltre per la correlazione diretta (e analogamente per quella inversa) si distingue:

• se ${\displaystyle 0<\left|\rho _{XY}\right|<0,3}$  si ha correlazione debole;
• se ${\displaystyle 0,3<\left|\rho _{XY}\right|<0,7}$  si ha correlazione moderata;
• se ${\displaystyle \left|\rho _{XY}\right|>0,7}$  si ha correlazione forte.

Se le due variabili sono indipendenti allora l'indice di correlazione vale 0. Non vale la conclusione opposta: in altri termini, l'incorrelazione è condizione necessaria ma non sufficiente per l'indipendenza. Per esempio data la distribuzione

abbiamo che ${\displaystyle X}$  e ${\displaystyle Y}$  non sono indipendenti in quanto legate dalla relazione ${\displaystyle Y=X^{2}}$ , ma ${\displaystyle \rho _{XY}=0}$ .

L'ipotesi di assenza di autocorrelazione è più restrittiva ed implica quella di indipendenza fra due variabili.

L'indice di correlazione vale ${\displaystyle +1}$  in presenza di correlazione lineare positiva perfetta (cioè ${\displaystyle Y=a+bX}$ , con ${\displaystyle b>0}$ ), mentre vale ${\displaystyle -1}$  in presenza di correlazione lineare negativa perfetta (cioè ${\displaystyle Y=a+bX}$ , con ${\displaystyle b<0}$ ).

Valori prossimi a ${\displaystyle +1}$  (o ${\displaystyle -1}$ ) possono essere misurati anche in presenza di relazioni non lineari. Per esempio, la seguente relazione quadratica: ${\displaystyle Y=X^{2}}$ 

produce un coefficiente ${\displaystyle \rho _{XY}=0,9844}$ .

Gli indici di correlazione di ${\displaystyle n}$  variabili possono essere presentati in una matrice di correlazione, che è una matrice quadrata di dimensione ${\displaystyle n\times n}$  avente sia sulle righe che sulle colonne le variabili oggetto di studio. La matrice è simmetrica, cioè ${\displaystyle (\rho _{ji}=\rho _{ij})}$ , e i coefficienti sulla diagonale valgono ${\displaystyle 1,}$  in quanto

${\displaystyle \rho _{ii}={\frac {\sigma _{ii}}{\sigma _{i}^{2}}}.}$ 

Un valore dell'indice di correlazione uguale a ${\displaystyle +1}$  o ${\displaystyle -1}$  corrisponde a punti che si trovano esattamente su una linea retta. Il coefficiente di correlazione di Pearson è simmetrico: ${\displaystyle \rho _{XY}=\rho _{YX}.}$ 

Una proprietà matematica caratteristica del coefficiente di correlazione di Pearson è che non varia rispetto ai cambiamenti singoli della posizione e della scala delle due variabili. Cioè, possiamo trasformare ${\displaystyle X}$  in ${\displaystyle a+bX}$  e trasformare ${\displaystyle Y}$  in ${\displaystyle c+dY,}$  dove ${\displaystyle a,b,c}$  e ${\displaystyle d}$  sono costanti reali con ${\displaystyle b,d>0,}$  senza modificare il coefficiente di correlazione.

Utilizzando il linguaggio di programmazione R si vuole calcolare l'indice di correlazione di Pearson tra la variabile Fertility rate, total (births per woman) e la variabile GDP per capita (current US$) nel 2020 , fornite dalla Banca Mondiale qui : https://databank.worldbank.org/reports.aspx?source=world-development-indicators . Per fare questo si utilizza la funzione cor nel seguente modo :

library(dplyr)

World_Bank_Data <- read.csv("World_Bank_Data.csv")

df1 <- World_Bank_Data %>%
  filter(Series.Name=="Fertility rate, total (births per woman)") %>%
  select(Country.Name,X2020..YR2020.)

colnames(df1)[2] <- "Numero di figli per donna"

df2 <- World_Bank_Data %>%
  filter(Series.Name=="GDP per capita (current US$)"   ) %>%
  select(Country.Name,X2020..YR2020.)

colnames(df2)[2] <- "Pil procapite"

df1 <- merge(df1,df2 , by="Country.Name")

df1$`Numero di figli per donna` <- as.numeric(df1$`Numero di figli per donna`)
df1$`Pil procapite` <- as.numeric(df1$`Pil procapite`)

df1 <- df1[-which(is.na(df1$`Pil procapite`)),]
df1 <- df1[-which(is.na(df1$`Numero di figli per donna`)),]

cor(df1$`Numero di figli per donna`,df1$`Pil procapite`,)

-0.4601806

• Sheldon M. Ross, Introduzione alla statistica, 2ª ed., Maggioli Editore, 2014, ISBN 8891602671.

• Coefficiente di correlazione per ranghi di Spearman
• Coefficiente di correlazione per ranghi di Kendall
• Regressione lineare
• Correlazione (statistica)
• Karl Pearson
• Francis Galton, il primo a introdurre la lettera r (come abbreviazione di "regressione") anche se utilizzava un coefficiente diverso, in quanto normava usando lo scarto interquartile.

• (EN) Ken Stewart, Pearson’s correlation coefficient, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Indice di correlazione di Pearson, su MathWorld, Wolfram Research.  

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