Gruppo del cubo di Rubik

Un cubo di Rubik ${\displaystyle 3\times 3\times 3}$  consiste di ${\displaystyle 6}$  facce, ognuna con ${\displaystyle 9}$  quadrati colorati, per un totale di ${\displaystyle 54}$  quadrati. Un cubo risolto ha ogni quadrato su ciascuna faccia dello stesso colore.

Una mossa consiste in una rotazione di una delle ${\displaystyle 6}$  facce: ${\displaystyle 90^{\circ },180^{\circ }}$  o ${\displaystyle -90^{\circ }}$ . Il quadrato centrale di ciascuna faccia del cubo ruota attorno al proprio asse (ad esso perpendicolare e passante per il centro) rimanendo quindi nella stessa posizione.^[1]

Le mosse sono di seguito descritte con la notazione di Singmaster:^[3]

90°	180°	-90°
${\displaystyle F}$  Rotazione in senso orario della faccia frontale	${\displaystyle F^{2}}$  Doppia rotazione in senso orario della faccia frontale	${\displaystyle F^{\prime }}$  Rotazione in senso antiorario della faccia frontale
${\displaystyle B}$  rotazione in senso orario della faccia posteriore	${\displaystyle B^{2}}$  doppia rotazione in senso orario della faccia posteriore	${\displaystyle B^{\prime }}$  rotazione in senso antiorario della faccia posteriore
${\displaystyle U}$  rotazione in senso orario della faccia superiore	${\displaystyle U^{2}}$  doppia rotazione in senso orario della faccia superiore	${\displaystyle U^{\prime }}$  rotazione in senso antiorario della faccia superiore
${\displaystyle D}$  rotazione in senso orario della faccia inferiore	${\displaystyle D^{2}}$  doppia rotazione in senso orario della faccia inferiore	${\displaystyle D^{\prime }}$  rotazione in senso antiorario della faccia inferiore
${\displaystyle L}$  rotazione in senso orario della faccia sinistra	${\displaystyle L^{2}}$  doppia rotazione in senso orario della faccia sinistra	${\displaystyle L^{\prime }}$  rotazione in senso antiorario della faccia sinistra
${\displaystyle R}$  rotazione in senso orario della faccia destra	${\displaystyle R^{2}}$  doppia rotazione in senso orario della faccia destra	${\displaystyle R^{\prime }}$  rotazione in senso antiorario della faccia destra

L'orientazione dei quadrati centrali è fissa. Possiamo identificare ciascuna delle sei rotazioni come elementi di un gruppo simmetrico. In pratica numeriamo i quadrati, esclusi quelli centrali, da 1 a 48, e identifichiamo le sei rotazioni delle facce come elementi del gruppo simmetrico S₄₈ in base alle configurazioni che ciascuna mossa fa assumere ai quadrati. Il gruppo del cubo di Rubik G è quindi definito come il sottogruppo generato dalle 6 rotazioni, ${\displaystyle \{F,B,U,D,L,R\}}$ .

La cardinalità di G è data da

${\displaystyle |G|=43{.}252{.}003{.}274{.}489{.}856{.}000\,\!=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11}$ .^[4]

Nonostante abbia una cardinalità così grande, nessuna configurazione richiederà mai un numero di rotazioni superiore a 20 per ottenere la risoluzione^[5] (dove una rotazione di 180 gradi conta come una singola mossa, ma se viene contata come due rotazioni di 90 gradi, allora tale numero è 26^[6]).

Il più grande ordine di un elemento in G è 1260. Per esempio un elemento di ordine 1260 è

${\displaystyle (RU^{2}D^{\prime }BD^{\prime })}$ .^[1]

G è un gruppo non-abeliano. Ciò vuol dire che non tutte le mosse del cubo commutano tra loro;^[2] per esempio, ${\displaystyle FR}$  è diverso da ${\displaystyle RF}$ .

Consideriamo due sottogruppi di G: il sottogruppo C_o delle orientazioni, ovvero le mosse che consistono nel ruotare l'intero cubo, lasciando quindi invariate le posizioni reciproche tra i cubetti. Questo è un sottogruppo normale di G. Può essere rappresentato come la chiusura normale delle mosse che invertono degli spigoli oppure che ruotano gli angoli.

Per esempio, è la chiusura normale delle seguenti mosse:

${\displaystyle BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2}BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2},\,\!}$  (ruota due angoli)

${\displaystyle RUDB^{2}U^{2}B^{\prime }UBUB^{2}D^{\prime }R^{\prime }U^{\prime },\,\!}$  (inverte due spigoli).

Il secondo sottogruppo ${\displaystyle C_{P}}$  è quello delle permutazioni, ovvero i movimenti che consentono di cambiare la posizione dei cubetti, ma lasciano invariata l'orientazione del cubo:

${\displaystyle C_{p}=[U^{2},D^{2},F,B,L^{2},R^{2},R^{2}U^{\prime }FB^{\prime }R^{2}F^{\prime }BU^{\prime }R^{2}].\,\!}$ 

Dal momento che C_o è un sottogruppo normale e l'intersezione di C_o e C_p è l'identità e il loro prodotto è il gruppo G, segue che G è il prodotto semidiretto di questi due gruppi. Ovvero

${\displaystyle G=C_{o}\rtimes C_{p}.\,}$ 

La struttura di C_o è

${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11},\ }$ 

dato che il gruppo della rotazione di ogni angolo è ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$ , mentre per gli spigoli è ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ , ma solo sette degli otto angoli possono essere ruotati in modo indipendente, perché la disposizione dell'ultimo angolo dipenderà dalla posizione degli altri.

Il sottogruppo delle permutazioni, C_p, è un po' più complicato. Esso contiene i seguenti due sottogruppi normali disgiunti: il gruppo delle permutazioni pari degli angoli A₈ e il gruppo delle permutazioni pari degli spigoli A₁₂. Complementare a questi due sottogruppi è una permutazione che scambia due angoli e due spigoli. Questi generano tutte le possibili permutazioni, ovvero

${\displaystyle C_{p}=(A_{8}\times A_{12})\,\rtimes \mathbb {Z} _{2}.}$ 

Abbiamo che G è isomorfo a

${\displaystyle (\mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11})\rtimes \,((A_{8}\times A_{12})\rtimes \mathbb {Z} _{2}).}$ 

Questo gruppo può essere descritto anche come il seguente prodotto semidiretto

${\displaystyle [(\mathbb {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}}$ 

utilizzando la notazione di Griess^{[senza fonte]}.

Se prendiamo in considerazione le simmetrie dei quadrati centrali il gruppo simmetrico è un sottogruppo di

${\displaystyle [\mathbb {Z} _{4}^{6}\times (\mathbb {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}.}$ 

Se ammettiamo di poter disassemblare il cubo e ricomporlo a piacimento, il gruppo di simmetria del cubo di Rubik è il prodotto diretto

${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}^{6}\times (\mathbb {Z} _{3}\wr \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}\wr \mathrm {S} _{12}).}$ 

Il primo fattore tiene conto soltanto delle rotazioni dei pezzi centrali, il secondo soltanto delle simmetrie degli angoli e il terzo soltanto delle simmetrie degli spigoli, ${\displaystyle \wr }$  indica il prodotto intrecciato.

• Commutatore
• Permutazione
• Classe di coniugio
• Classe laterale
• Cubo di Rubik
• Gruppo risolubile

•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul gruppo del cubo di Rubik

• (EN) Eric W. Weisstein, Rubik's Group, su MathWorld, Wolfram Research.  
• Soluzione semplice e dettagliata del cubo di Rubik.pdf (PDF), su commons.wikimedia.org.

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