Gruppo ciclico

Un gruppo ${\displaystyle G}$  è ciclico se esiste un elemento ${\displaystyle g}$  del gruppo (detto generatore) tale che ${\displaystyle G}$  è l'insieme delle potenze di ${\displaystyle g}$  ad esponente intero, in simboli

${\displaystyle G=\{g^{n}:n\in \mathbb {Z} \}.}$ 

Stiamo qui usando la notazione moltiplicativa. Quando si usa la notazione additiva, invece che di potenze si parla di multipli, dunque in simboli

${\displaystyle G=\{ng:n\in \mathbb {Z} \}.}$ 

Ad esempio, se

${\displaystyle G=\{e,g^{1},g^{2},g^{3},g^{4},g^{5}\},}$ 

allora ${\displaystyle G}$  è ciclico.

In altre parole, ${\displaystyle G}$  coincide con il sottogruppo ${\displaystyle \left\langle g\right\rangle }$  generato da ${\displaystyle g}$ . Si usa quindi scrivere ${\displaystyle G=\left\langle g\right\rangle }$  oppure ${\displaystyle G=[g]}$ .

L'esempio seguente, fornito dalla aritmetica modulare, è fondamentale.

Poiché ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$  è un sottogruppo normale di ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  di indice ${\displaystyle n}$ , il gruppo quoziente ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  è un gruppo commutativo finito con ${\displaystyle n}$  elementi, che possiamo scrivere ${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}$ . La somma fra due elementi ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  è il resto della divisione di ${\displaystyle a+b}$  per ${\displaystyle n}$ . Poiché ogni elemento si scrive come ${\displaystyle n=1+\dots +1}$  (sommato ${\displaystyle n}$  volte), il numero ${\displaystyle 1}$  è generatore del gruppo. Quindi ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  è un gruppo ciclico.

Quando non si crea confusione con i numeri p-adici, si usa la notazione più stringata ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$  invece di ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ .

• I numeri interi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  sono un gruppo ciclico di ordine infinito.
• Le rotazioni del piano cartesiano che sono simmetrie di un poligono regolare con ${\displaystyle n}$  lati centrato nell'origine formano un gruppo ciclico di ordine ${\displaystyle n}$ .
• Le radici n-esime dell'unità nel piano complesso formano un gruppo ciclico di ordine ${\displaystyle n}$  tramite moltiplicazione.
• Il gruppo di Galois di ogni estensione finita di un campo finito è finito e ciclico.
• Dato un gruppo ${\displaystyle G}$  ed un elemento ${\displaystyle g}$  di ${\displaystyle G}$ , il sottogruppo ${\displaystyle \langle g\rangle }$  generato da ${\displaystyle g}$  è un gruppo ciclico.

Un gruppo ciclico è abeliano^[1].

Un gruppo ciclico ${\displaystyle G}$  con ${\displaystyle n}$  elementi è isomorfo al gruppo ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  delle classi di resto modulo ${\displaystyle n}$  se ${\displaystyle n}$  è finito, ed isomorfo al gruppo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  dei numeri interi se ${\displaystyle n}$  è infinito.

L'isomorfismo può essere costruito nel modo seguente. La funzione ${\displaystyle \mathbb {Z} \to G}$  che manda l'intero ${\displaystyle i}$  nella potenza ${\displaystyle g^{i}}$  del generatore ${\displaystyle g}$  di ${\displaystyle G}$  è un omomorfismo di gruppi suriettivo. Se ${\displaystyle G}$  è infinito, la funzione è anche iniettiva, dunque un isomorfismo. Se invece ${\displaystyle G}$  è finito, di ordine ${\displaystyle n}$ , il nucleo della funzione è ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$  ed il primo teorema d'isomorfismo fornisce un isomorfismo ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to G}$ .

Per quanto scritto sopra, un gruppo ciclico è identificato, a meno di isomorfismo, dal suo ordine ${\displaystyle n}$ .

Sia ${\displaystyle G}$  un gruppo ciclico finito, con generatore ${\displaystyle a}$ . In questo caso, l'ordine è il minimo intero positivo ${\displaystyle n}$  tale che ${\displaystyle a^{n}=e}$ . Più in generale, ${\displaystyle a^{m}=e}$  se e solo se ${\displaystyle m}$  è un multiplo di ${\displaystyle n}$ .

Per ogni altro elemento ${\displaystyle b}$  del gruppo, vale comunque la relazione ${\displaystyle b^{n}=e}$ .

L'elemento ${\displaystyle m}$  è generatore di ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  se e solo se ${\displaystyle m}$  è coprimo con ${\displaystyle n}$ . Quindi ci sono ${\displaystyle \varphi (n)}$  generatori distinti in un gruppo ciclico con ${\displaystyle n}$  elementi, dove ${\displaystyle \varphi }$  è la funzione φ di Eulero.

Ogni sottogruppo ed ogni gruppo quoziente di un gruppo ciclico è ciclico.

Se ${\displaystyle G}$  è ciclico di ordine ${\displaystyle n}$  ed ${\displaystyle m}$  divide ${\displaystyle n}$  allora esiste un solo sottogruppo ciclico di ordine ${\displaystyle m}$ .

Il prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine ${\displaystyle p}$  e ${\displaystyle q}$  ha ordine ${\displaystyle pq}$  ed è ciclico se e solo se ${\displaystyle p}$  e ${\displaystyle q}$  sono coprimi.

D'altra parte, il teorema fondamentale per i gruppi abeliani finitamente generati asserisce che ogni gruppo abeliano finitamente generato è prodotto di gruppi ciclici.

Se ${\displaystyle p}$  è un numero primo, ogni gruppo ${\displaystyle G}$  con ${\displaystyle p}$  elementi è isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ . In altre parole, ogni gruppo con ${\displaystyle p}$  elementi è isomorfo ad un gruppo ciclico.

Un tale gruppo possiede solo i due sottogruppi banali ${\displaystyle \{e\}}$  e ${\displaystyle G}$  stesso.

Il sottogruppo ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$  è anche un ideale nell'anello commutativo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , e quindi ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  eredita anche una struttura di anello commutativo. In altre parole, si può fare il prodotto fra due numeri: il prodotto fra ${\displaystyle a}$  e ${\displaystyle b}$  è il resto della divisione di ${\displaystyle ab}$  per ${\displaystyle n}$ .

Se ${\displaystyle n}$  è primo, l'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  è in verità un campo. Se ${\displaystyle n}$  non è primo, abbiamo ${\displaystyle n=ab}$  per qualche ${\displaystyle a,b<n}$ . Questa relazione nel gruppo diventa ${\displaystyle ab=0}$ : quindi l'anello non è un dominio di integrità, e quindi a maggior ragione non può essere un campo.

Le unità dell'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$  sono i numeri primi con ${\displaystyle n}$ , ovvero i generatori del gruppo. Formano un gruppo con la moltiplicazione, di ${\displaystyle \varphi (n)}$  elementi (vedi sopra), indicato generalmente come ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{*}}$ .

Ad esempio, i gruppi ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}^{*}=\{1,5\}}$  e ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}^{*}=\{1,3,5,7\}}$  sono isomorfi rispettivamente a ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$  e ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ .

In generale, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{*}}$  è ciclico se e solo se ${\displaystyle n}$  è ${\displaystyle 2}$ , ${\displaystyle 4}$ , ${\displaystyle p^{k}}$  o ${\displaystyle 2p^{k}}$  dove ${\displaystyle p}$  è un primo dispari e ${\displaystyle k\geq 1}$ .

In particolare, il gruppo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{*}}$  è ciclico con ${\displaystyle p-1}$  elementi per ogni primo ${\displaystyle p}$ . Più in generale, ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.

• Serge Lang, Capitolo I §4, in Algebra, 3ª ed., Springer, 2002.

• Gruppo diedrale

• Gruppo ciclico, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Cyclic Group, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Cyclic group, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.  

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