Gas ideale

Per gas ideale si intende un gas che possieda le seguenti proprietà:^[7]

• le molecole sono puntiformi e pertanto hanno un volume trascurabile;
• le molecole interagiscono tra loro e con le pareti del recipiente mediante urti perfettamente elastici (ovvero non vi è dispersione di energia cinetica durante gli urti);
• non esistono forze di interazione a distanza tra le molecole del gas: le molecole si dicono "non interagenti";
• le molecole del gas sono identiche tra loro e indistinguibili;
• il moto delle molecole è casuale e disordinato in ogni direzione, ma soggetto a leggi deterministiche.

In conseguenza di ciò:

• il gas non può essere liquefatto per sola compressione, ossia non subisce trasformazioni di stato;
• il calore specifico è funzione della temperatura;
• l'energia interna è data solamente dall'energia cinetica, non da quella potenziale; essa rimane costante e non viene dissipata.

In un gas ideale l'energia cinetica media delle molecole del gas è direttamente proporzionale alla temperatura:

${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}\propto T}$ 

I gas reali vengono descritti dalla legge dei gas perfetti con buona approssimazione solo quando la pressione è sufficientemente bassa e la temperatura sufficientemente alta. In caso contrario è valida la legge dei gas reali.

La variazione dell'energia interna è una funzione di stato, ossia ha la proprietà di dipendere solo dal suo stato iniziale e finale e non dal percorso compiuto. In generale l'energia interna è una funzione sia della temperatura che del volume, differenziando si ottiene quindi:

${\displaystyle dU=\left({\partial U \over \partial T}\right)dT+\left({\partial U \over \partial V}\right)dV}$ 

Considerando i risultati matematici dell'esperienza di Joule per l'espansione libera di un gas perfetto:

${\displaystyle \left({\partial U \over \partial V}\right)=0}$ 

${\displaystyle \left({\partial U \over \partial p}\right)=0}$ 

e sostituendo nel differenziale precedentemente calcolato, si ottiene:

${\displaystyle dU=\left({\partial U \over \partial T}\right)dT}$ 

Ovvero per i gas perfetti l'energia interna è funzione solamente della temperatura.^[8]

Definendo come ${\displaystyle C_{V}}$  la capacità termica a volume costante, allora per una trasformazione isocora dal primo principio della termodinamica si ha che:

${\displaystyle dU=\delta Q=\left({\partial Q \over \partial T}\right)dT=C_{v}dT}$ 

dove ${\displaystyle \delta Q}$  è il calore scambiato dal gas con l'ambiente durante la trasformazione. Assumendo che la capacità termica è costante con la temperatura, e usando la legge dei gas perfetti, allora il primo principio della termodinamica può essere riscritto per i gas ideali e per trasformazioni quasistatiche come

${\displaystyle \delta Q=C_{v}dT+nRT{\frac {dV}{V}}}$ 

dove ${\displaystyle R}$  è la costante universale dei gas e ${\displaystyle n}$  è il numero di moli di gas.^[9]

  Lo stesso argomento in dettaglio: Entropia § Definizione termodinamica.

Si consideri una trasformazione reversibile che porti ${\displaystyle n}$  moli di gas perfetto da uno stato con pressione, volume e temperatura ${\displaystyle (p_{A},\;V_{A},\;T_{A})}$  ad uno stato finale ${\displaystyle (p_{B},\;V_{B},\;T_{B})}$ . La quantità infinitesima di calore scambiata nella trasformazione è data da:

${\displaystyle dQ=nc_{V}dT+nRT{\frac {dV}{V}}}$ 

dove ${\displaystyle c_{V}}$  è il calore specifico a volume costante.

Ricordando che la variazione di entropia è data da:^[10]

${\displaystyle S_{B}-S_{A}=\int _{A}^{B}\left({\frac {dQ}{T}}\right)_{rev}}$ ,

allora la variazione si entropia nel passaggio dallo stato iniziale ${\displaystyle A}$  allo stato finale ${\displaystyle B}$  è data da:^[11]

${\displaystyle S_{B}-S_{A}=\int _{A}^{B}nc_{V}{\frac {dT}{T}}\ +\int _{A}^{B}nR{\frac {dV}{V}}}$ .

Integrando si ottiene:

${\displaystyle S_{B}-S_{A}=nc_{V}\ln {\left({\frac {T_{B}}{T_{A}}}\right)}+nR\ln {\left({\frac {V_{B}}{V_{A}}}\right)}}$ .

Utilizzando l'equazione di stato dei gas perfetti e la relazione di Mayer, ed operando le opportune sostituzioni, è possibile riscrivere la relazione appena trovata anche in termini di pressione e di calore specifico a pressione costante:

${\displaystyle S_{B}-S_{A}=nc_{p}\ln {\left({\frac {T_{B}}{T_{A}}}\right)}-nR\ln {\left({\frac {p_{B}}{p_{A}}}\right)}}$ 

${\displaystyle S_{B}-S_{A}=nc_{V}\ln {\left({\frac {p_{B}}{p_{A}}}\right)}+nc_{p}\ln {\left({\frac {V_{B}}{V_{A}}}\right)}}$ .

Si ricordi che in questi calcoli il calore specifico è stato assunto come costante della temperatura.

Per il gas ideale anche l'entalpia è funzione solamente della temperatura:

${\displaystyle \ dH=C_{p}dT}$ 

dove ${\displaystyle C_{p}}$  è la capacità termica a pressione costante.

Per un gas perfetto vale la relazione^{[senza fonte]}:

${\displaystyle \ dH=dU+nRdT}$ .

• Philip A. Thompson, Compressible-Fluid Dynamics, Irving H. Shames, 1988.
• Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica - Volume I (seconda edizione), Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1.

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