Fenomeno di Gibbs

 

 

 

Le tre figure a destra descrivono il fenomeno per un'onda quadra, la quale espansa secondo Fourier è:

${\displaystyle \sin(x)+{\frac {1}{3}}\sin(3x)+{\frac {1}{5}}\sin(5x)+\dots }$ 

Più precisamente questa è una funzione ${\displaystyle f}$  che per ogni n intero assume il valore ${\displaystyle \pi /4}$  tra ${\displaystyle 2n\pi }$  e ${\displaystyle (2n+1)\pi }$  ed il valore di ${\displaystyle -\pi /4}$  tra ${\displaystyle (2n+1)\pi }$  e ${\displaystyle (2n+2)\pi }$ . Si ha quindi una discontinuità alta ${\displaystyle \pi /2}$  ogni multiplo di ${\displaystyle \pi }$ , e la funzione ha periodo ${\displaystyle 2\pi }$ 

Se si considerano più termini l'errore di approssimazione si riduce in ampiezza, ma converge ad un'altezza fissa (che si può calcolare attraverso una formula). Il valore della sovraelongazione, rispetto all'altezza nominale dell'onda (${\displaystyle \pi /4}$ ), risulta quindi di:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin t}{t}}\,dt-{\frac {\pi }{4}}={\frac {\pi }{2}}\cdot 0.089490\dots }$ 

Più in generale, data una funzione periodica differenziabile tranne dove presenta un punto di discontinuità di altezza ${\displaystyle a}$ , la serie di Fourier troncata ha una sovraelongazione di circa ${\displaystyle a\cdot 0.089490}$  ad ogni estremità. Ovvero, la funzione che deriva dalla serie di Fourier troncata presenta una discontinuità del 18% più grande della funzione originale.

La quantità:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {\sin t}{t}}\ dt={1.851937052\dots }={\frac {\pi }{2}}+\pi \cdot 0.089490\dots }$ 

è conosciuta come la costante di Wilbraham-Gibbs.

Data una funzione ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}$  continua a tratti, differenziabile e periodica con periodo ${\displaystyle L>0}$ , si supponga che in un punto ${\displaystyle x_{0}}$  la funzione è discontinua e il limite ${\displaystyle f(x_{0}^{-})}$  per ${\displaystyle x}$  che tende ad ${\displaystyle x_{0}}$  da sinistra sia diverso dal limite ${\displaystyle f(x_{0}^{+})}$  da destra. In particolare, sia ${\displaystyle a}$  la differenza tra i limiti destro e sinistro:

${\displaystyle f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})=a\neq 0}$ 

Per ogni numero intero positivo ${\displaystyle N\geq 1}$ , sia ${\displaystyle S_{N}f}$  la serie di Fourier di ${\displaystyle f}$  troncata al N-esimo termine:

${\displaystyle S_{N}f(x):=\sum _{-N\leq n\leq N}{\hat {f}}(n)e^{2\pi inx/L}={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)}$ 

dove i coefficienti di Fourier ${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$ , ${\displaystyle a_{n}}$  e ${\displaystyle b_{n}}$  sono calcolati tramite le usuali formule:

${\displaystyle {\hat {f}}(n):={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}f(x)e^{-2\pi inx/L}\ dx}$ 

${\displaystyle a_{n}:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\ dx}$ 

${\displaystyle b_{n}:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\ dx}$ 

Si ha che:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)=f(x_{0}^{+})+a\cdot 0.089490\dots }$ 

e:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}-{\frac {L}{2N}}\right)=f(x_{0}^{-})-a\cdot 0.089490\dots }$ 

ma:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f(x_{0})={\frac {f(x_{0}^{-})+f(x_{0}^{+})}{2}}}$ 

In generale, se ${\displaystyle x_{N}}$  è una sequenza di numeri reali che converge ad ${\displaystyle x_{0}}$  per ${\displaystyle N\to \infty }$  e se il salto ${\displaystyle a}$  è positivo, allora:

${\displaystyle \limsup _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\leq f(x_{0}^{+})+a\cdot 0.089490\dots }$ 

e:

${\displaystyle \liminf _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\geq f(x_{0}^{-})-a\cdot 0.089490\dots }$ 

Se invece il salto ${\displaystyle a}$  è negativo si deve cambiare il limite superiore con il limite inferiore e cambiare i segni di disuguaglianza ≤ con ≥ e viceversa, ovvero:

${\displaystyle \liminf _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\geq f(x_{0}^{+})+a\cdot 0.089490\dots }$ 

e:

${\displaystyle \limsup _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\leq f(x_{0}^{-})-a\cdot 0.089490\dots }$ 

Nell'esempio relativo al fenomeno nell'onda quadra, descritto in precedenza, il periodo ${\displaystyle L}$  è pari a ${\displaystyle 2\pi }$ , la discontinuità ${\displaystyle x_{0}}$  è nello 0 ed il salto ${\displaystyle a}$  è uguale a ${\displaystyle \pi /2}$ . Per semplicità, si considerano solo i casi con N pari (se N è dispari la trattazione è molto simile). Si ha:

${\displaystyle S_{N}f(x)=\sin(x)+{\frac {1}{3}}\sin(3x)+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin((N-1)x)}$ 

sostituendo ${\displaystyle x_{0}}$  si ottiene:

${\displaystyle S_{N}f(0)=0={\frac {-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{4}}}{2}}={\frac {f(0^{-})+f(0^{+})}{2}}}$ 

come si è visto sopra. Ora si può calcolare:

${\displaystyle S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{N}}\right)+{\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {3\pi }{N}}\right)+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin \left({\frac {(N-1)\pi }{N}}\right)}$ 

Se si definisce la funzione sinc ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x):=\sin(x)/x}$  si può riscrivere la precedente equazione come:

${\displaystyle S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)={\frac {1}{2}}\left[{\frac {2\pi }{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi }{N}}\right)+{\frac {2\pi }{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {3\pi }{N}}\right)+\cdots +{\frac {2\pi }{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {(N-1)\pi }{N}}\right)\right]}$ 

Ma l'espressione all'interno delle parentesi quadre è un'approssimazione dell'integrale ${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\operatorname {sinc} (t)\ dt}$ . Dato che la funzione sinc è continua, l'approssimazione converge all'integrale con ${\displaystyle N\to \infty }$ . Quindi si ha:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\operatorname {sinc} (t)\ dt={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\cdot 0.089490\dots }$ 

che è ciò che si era trovato nel paragrafo precedente. In modo analogo si trova:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(-{\frac {2\pi }{2N}}\right)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\operatorname {sinc} (t)\ dt=-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}\cdot 0.089490\dots }$ 

• (EN) J. W. Gibbs, Nature , 59 (1899) pp. 606
• (EN) H. S. Carslaw, Introduction to the theory of Fourier's series and integrals , Dover, reprint (1930)
• (EN) Arfken, G. "Gibbs Phenomenon." §14.5 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 783-787, 1985.
• (EN) Foster, J. and Richards, F. B. The Gibbs Phenomenon for Piecewise-Linear Approximation. Amer. Math. Monthly 98, 47-49, 1991.

• Fenomeno di Runge
• Onda quadra
• Punto di discontinuità
• Serie di Fourier

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• (EN) Eric W. Weisstein, Fenomeno di Gibbs, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) P.L. Ul'yanov, Gibbs phenomenon, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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