Fattoriale

I valori dei primi numeri fattoriali sono riassunti nella seguente tabella:

La funzione fattoriale può anche essere definita in modo ricorsivo:

${\displaystyle n!:={\begin{cases}1&{\text{se }}n=0,\\n(n-1)!&{\text{se }}n\geq 1\end{cases}}}$ 

Per questa ragione, viene spesso utilizzata nell'insegnamento dell'informatica per fornire il primo esempio di calcolo ricorsivo.

Nella definizione come produttoria, la richiesta che ${\displaystyle 0!}$  sia pari a uno si accorda con la richiesta che il prodotto di zero fattori, il cosiddetto prodotto vuoto, come la potenza nulla di un intero positivo, sia uguale ad ${\displaystyle 1}$ . Per convincersi ulteriormente di questo fatto, si può anche pensare di definire ${\displaystyle 1!=1}$  e osservare che

${\displaystyle 1=1!=1\cdot (1-1)!=1\cdot 0!=0!}$ 

come si desume dalla definizione ricorsiva.

I fattoriali innanzitutto sono importanti nel calcolo combinatorio. In particolare vi sono ${\displaystyle n!}$  diverse sequenze formate da ${\displaystyle n}$  oggetti distinti, cioè vi sono ${\displaystyle n!}$  permutazioni di ${\displaystyle n}$  oggetti; i fattoriali quindi enumerano le permutazioni.

Data l'importanza delle permutazioni, segue che i fattoriali si incontrano in numerosissime espressioni. Ad esempio, rimanendo nel calcolo combinatorio, il numero di scelte di ${\displaystyle k}$  oggetti fra quelli che costituiscono un insieme di ${\displaystyle n}$  elementi, cioè il numero dei sottoinsiemi di ${\displaystyle k}$  elementi di un dato insieme di ${\displaystyle n}$  oggetti, è dato dal cosiddetto coefficiente binomiale:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\dfrac {n!}{k!(n-k)!}}}$ 

I fattoriali si incontrano anche nel calcolo infinitesimale: innanzitutto va osservato che la ${\displaystyle n}$ -esima derivata di ${\displaystyle x^{n}}$  è ${\displaystyle n!}$ ; una conseguenza di questo fatto è il teorema di Taylor che esprime una funzione ${\displaystyle f(x)}$  come serie di potenze nella ${\displaystyle x}$  servendosi dei fattoriali e dei valori delle derivate. I fattoriali si incontrano spesso anche nelle espressioni delle funzioni speciali, nell'analisi numerica, nel calcolo delle probabilità, nella meccanica statistica e nella meccanica quantistica.

Il fattoriale presenta numerose varianti e generalizzazioni. Tra le prime il multifattoriale e in particolare il semifattoriale, il fattoriale crescente e il fattoriale decrescente. Tra le generalizzazioni discrete troviamo l'iperfattoriale e il superfattoriale. Molte di queste varianti nascono dal calcolo della cardinalità di alcuni insiemi nati dalla combinatoria. La funzione gamma è invece una generalizzazione continua.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione gamma.

La funzione gamma è una funzione analitica definibile mediante l'integrale

${\displaystyle \Gamma (z):=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\quad {\text{per }}\mathrm {Re} (z)>0.}$ 

per essa si dimostrano facilmente le proprietà

${\displaystyle \Gamma (1)=1\qquad \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\quad {\text{per }}\mathrm {Re} (z)>0.}$ 

essa dunque estende la funzione fattoriale definita sugli interi naturali all'intero campo complesso (con la sola eccezione degli interi negativi):

${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{+\infty }t^{z}e^{-t}\,dt.}$ 

Si dimostra inoltre che essa è l'unica estensione analitica del fattoriale.

La notazione ${\displaystyle n!!}$  denota il semifattoriale (o doppio fattoriale) di ${\displaystyle n}$  ed è definita ricorsivamente nel modo seguente:

${\displaystyle n!!={\begin{cases}1&{\text{se }}n=0{\text{ o }}n=1,\\n\cdot (n-2)!!&{\text{se }}n\geq 2.\end{cases}}}$ 

per esempio ${\displaystyle 8!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8=384}$  e ${\displaystyle 9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945}$ . La sequenza di semifattoriali per ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$  è la seguente^[1]:

${\displaystyle 1,1,2,3,8,15,48,105,384,945,3840,\dots }$ 

Tra le identità che legano il fattoriale al doppio fattoriale, troviamo:

${\displaystyle {\begin{aligned}n!&=n!!\cdot (n-1)!!\\2^{n}\cdot n!&=(2n)!!\\{\dfrac {(2n+1)!}{2^{n}\cdot n!}}&=(2n+1)!!\end{aligned}}}$ 

La seconda identità risulta utile per i semifattoriali pari, mentre l'ultima identità per i semifattoriali dispari: è deducibile dalla constatazione che moltiplicare tra loro tutti i numeri dispari fino a ${\displaystyle 2n+1}$  equivale a moltiplicare tutti gli interi fino a ${\displaystyle 2n+1}$  per poi eliminare, ossia dividere, quelli pari, ossia ${\displaystyle 2^{n}\cdot n!}$ ).

La notazione ${\displaystyle n!_{(\alpha )}}$ denota il multifattoriale di ${\displaystyle n}$  ed è definita ricorsivamente nel modo seguente:

${\displaystyle n!_{(\alpha )}={\begin{cases}1&{\text{se }}n=0\\n&{\text{se }}0<n<\alpha \\n\cdot (n-\alpha )!_{(\alpha )}&{\text{se }}n\geq \alpha .\end{cases}}}$ 

Il valore numerico di ${\displaystyle n!}$  può essere calcolato mediante ripetute moltiplicazioni fino ad un valore non eccessivo di ${\displaystyle n}$ ; questo è ciò che fanno le calcolatrici odierne. Al di sopra di un certo ${\displaystyle n}$  lo strumento di calcolo in uso cessa di dare risultati sensati per via dell'overflow. Ad esempio, una calcolatrice capace di operare su ${\displaystyle 100}$  cifre decimali riesce a calcolare ${\displaystyle 69!}$ , ma non il fattoriale successivo, in quanto ${\displaystyle 70!>10^{100}}$ .

Quando ${\displaystyle n}$  è molto grande in genere non serve conoscere il valore preciso di ${\displaystyle n!}$  e può essere sufficiente stimarlo con una opportuna accuratezza. Per questo scopo in genere si usa l'approssimazione di Stirling:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}~.}$ 

• (FR) M. J. Hadamard, Sur L'Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière (PDF), Œuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968, 1894.
• (EN) Srinivasa Ramanujan, The lost notebook and other unpublished papers, Springer Berlin, 1988, p. 339, ISBN 3-540-18726-X.

• Calcolo combinatorio
• Permutazione
• Primo fattoriale
• Primoriale
• Fattoriale crescente
• Coefficiente binomiale
• Funzione Gamma

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•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul fattoriale

• fattoriale, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.  
• Giovanni Lampariello, FATTORIALE, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1932.  
• fattoriale, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.  
• fattoriale, su sapere.it, De Agostini.  
• fattoriale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) factorial, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.  
• (EN) Opere riguardanti Factorials, su Open Library, Internet Archive.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Factorial, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Factorial, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.  
• (EN) Denis Howe, factorial, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL
• (EN) Fattoriale Calcolatrice: da 0! a 100.000!
• (EN) Dizionario dei grandi numeri, su home.earthlink.net. URL consultato il 21 febbraio 2005 (archiviato dall'url originale il 2 gennaio 2002).
• (EN) Tavola su Wiki Educator, su wikieducator.org.
• Mauro Fiorentini, Fattoriali (nel paragrafo delle proprietà si fa cenno al concetto di base fattoriale)
• Calcolo fattoriale passo per passo

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