Curvatura sezionale

Sia ${\displaystyle p}$  un punto in una varietà riemanniana ${\displaystyle M}$ , e ${\displaystyle \sigma }$  un piano (passante per l'origine) nello spazio tangente ${\displaystyle T_{p}}$  in ${\displaystyle p}$ .

La mappa esponenziale manda un aperto di ${\displaystyle \sigma }$  contenente l'origine su una superficie ${\displaystyle S}$ , contenuta in ${\displaystyle M}$  e tangente a ${\displaystyle \sigma }$  in ${\displaystyle p}$ . Si tratta della superficie ottenuta prendendo localmente tutte le geodetiche uscenti da ${\displaystyle p}$  tangenti a ${\displaystyle \sigma }$ .

La curvatura sezionale ${\displaystyle K(\sigma )}$  di ${\displaystyle M}$  rispetto a ${\displaystyle \sigma }$  è la curvatura gaussiana di ${\displaystyle S}$  in ${\displaystyle p}$ .

La curvatura sezionale può essere ricavata dal tensore di Riemann. Siano ${\displaystyle u}$  e ${\displaystyle v}$  due vettori che generano il piano ${\displaystyle \sigma }$ ; vale la formula

${\displaystyle K(\sigma )={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \cdot \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}}$ 

dove ${\displaystyle R}$  è il tensore di Riemann, ed il prodotto scalare è dato dal tensore metrico.

D'altra parte, il tensore di Riemann può essere completamente espresso in termini delle curvature sezionali nel punto.

Una varietà a curvatura sezionale costante è una varietà riemanniana in cui la curvatura sezionale è sempre un valore ${\displaystyle K}$ , indipendentemente dal punto ${\displaystyle p}$  e dal piano ${\displaystyle \sigma }$ . A meno di riscalare il tensore metrico di un fattore costante, si può supporre che questa curvatura sia ${\displaystyle K=-1}$ , ${\displaystyle 0}$  oppure ${\displaystyle 1}$ . La varietà è allora detta rispettivamente iperbolica, piatta e ellittica.

Per ogni dimensione ${\displaystyle n}$  esiste (a meno di riscalamento) esattamente una varietà iperbolica, piatta e ellittica, che sia anche connessa, semplicemente connessa e completa. Queste sono rispettivamente lo spazio iperbolico ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ , lo spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  e la sfera ${\displaystyle S^{n}}$ .

Ogni altra varietà iperbolica, piatta e ellittica completa ha uno di questi tre modelli come rivestimento universale, ed è quindi costruita a partire da questo come quoziente di un opportuno gruppo di isometrie.

Ad esempio, lo spazio proiettivo reale ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$  è una varietà ellittica ottenuta quozientando la sfera ${\displaystyle S^{n}}$  tramite la mappa antipodale.

• (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
• (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.

• Tensore di Riemann
• Curvatura scalare

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica