Curvatura media

Sia ${\displaystyle S}$  una superficie nello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ . La superficie deve essere sufficientemente regolare affinché le curvature principali siano definite.

La curvatura media di ${\displaystyle S}$  in un punto ${\displaystyle P}$  è la media aritmetica ${\displaystyle (k_{1}+k_{2})/2}$  delle curvature principali ${\displaystyle k_{1}}$  e ${\displaystyle k_{2}}$  nel punto.

Se indichiamo con ${\displaystyle R_{1}=1/k_{1}}$  e ${\displaystyle R_{2}=1/k_{2}}$  i raggi corrispondenti alle curvature principali, allora possiamo scrivere che:

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)={\frac {R_{1}+R_{2}}{2R_{1}R_{2}}}}$ 

ossia, che l'inverso della curvatura media è pari alla media armonica dei raggi di curvatura principale. Inoltre, possiamo riscrivere la curvatura media nei termini di quella gaussiana (K):

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}(R_{1}+R_{2})K}$ 

La curvatura media può essere definita più concretamente nel modo seguente. Con una rotazione, la superficie può essere trasformata in modo che il piano tangente in ${\displaystyle P}$  sia orizzontale. Vicino a ${\displaystyle P}$ , la superficie è il grafico di una funzione

${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$ 

definita su un insieme aperto ${\displaystyle A}$  di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ . Quindi ${\displaystyle P}$  ha coordinate ${\displaystyle (x,y,f(x,y))}$ . Poiché il piano tangente è orizzontale, questa funzione ha gradiente nullo. La curvatura media in ${\displaystyle P}$  è quindi definita come la traccia dell'hessiano di ${\displaystyle f}$  in ${\displaystyle (x,y)}$ . Perché questa definizione abbia senso, la funzione deve essere differenziabile almeno due volte: l'hessiano è infatti la matrice simmetrica ${\displaystyle 2\times 2}$  data dalle derivate parziali seconde di ${\displaystyle f}$ .

In entrambe le definizioni, il segno della curvatura media dipende dalla scelta di una normale alla superficie nel punto.

Il piano e la sfera di raggio ${\displaystyle r}$  hanno curvature principali costanti ${\displaystyle k}$  per ogni punto, con ${\displaystyle k=0}$  nel piano e ${\displaystyle k=1/r}$  nella sfera. Queste superfici hanno quindi curvatura media costante ${\displaystyle k}$ .

Il piano ed il cilindro hanno entrambe curvatura gaussiana nulla, ma hanno curvature medie differenti. Il piano ha curvatura media nulla, mentre il cilindro di raggio ${\displaystyle r}$  ha curvature direzionali ${\displaystyle 0}$  e ${\displaystyle 1/r}$  e la sua curvatura media è quindi ${\displaystyle 1/(2r)}$ .

Arrotolando un foglio di carta, si modifica la sua forma nello spazio (quindi cambiano le curvature estrinseche come la curvatura media) ma resta invariata la curvatura gaussiana (che dipende dalla metrica intrinseca, cioè soltanto dalla prima forma fondamentale, cioè dal tensore metrico sulla superficie).

 

La funzione

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}}$ 

ha gradiente ${\displaystyle (2ax,2by)}$ . Il gradiente è nullo nell'origine, e quindi la curvatura media del grafico ${\displaystyle X}$  di ${\displaystyle f}$  in ${\displaystyle (0,0)}$  è la traccia dell'hessiano. L'hessiano è

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2a&0\\0&2b\end{pmatrix}}}$ 

e la sua traccia è ${\displaystyle 2(a+b)}$ . La curvatura media di ${\displaystyle X}$  in ${\displaystyle (0,0)}$  è quindi ${\displaystyle 2(a+b)}$ . Questa è ad esempio nulla in presenza di un punto di sella, ove ${\displaystyle a+b=0}$ .

Questo metodo per calcolare la curvatura è però funzionante solo in ${\displaystyle (0,0)}$ , dove il gradiente si annulla.

• (EN) Manfredo do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, 1976, ISBN 0-13-212589-7.

• Curvatura principale
• Curvatura gaussiana
• Superficie minima

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