Completezza (statistica)

Data una misura di probabilità ${\displaystyle P_{\underline {X}}(x)}$  avente legge di probabilità:

${\displaystyle P_{\underline {X}}=\left\{{P_{\underline {X}}}^{\underline {\theta }};{\underline {\theta }}\in \mathrm {H} \subset {\mathbb {R} }^{m}\right\}}$ 

Diremo che il vettore ${\displaystyle {\underline {X}}}$  è completo rispetto al parametro ${\displaystyle {\underline {\theta }}}$  se ${\displaystyle \forall g}$  funzione misurabile e ${\displaystyle \forall {\underline {\theta }}\in H}$  si ha che se:

${\displaystyle {\mathrm {E} }_{\theta }[g({\underline {X}})]=0}$  implica che ${\displaystyle g({\underline {X}})=0}$  quasi certamente, ovvero ${\displaystyle Prob_{\theta }(g({\underline {X}})=0)=1}$ 

Sia ${\displaystyle X\in (0,+\infty )}$  con ${\displaystyle X\sim U(0,\theta )\quad }$  la distribuzione continua uniforme e ${\displaystyle \quad \theta \in (0,+\infty )}$ 

Data ${\displaystyle g}$  una funzione misurabile ho che:

${\displaystyle E_{\theta }[g(X)]=0\quad \forall \theta \in H}$  implica:

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }{\frac {g(X)}{\theta }}\,dx=0}$ 

Perciò semplificando ottengo:

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }g(X)\,dx=0}$ 

Da cui:

${\displaystyle \partial {\theta }\ \int _{0}^{\theta }g(X)\,dx=0}$ 

E per il teorema fondamentale del calcolo integrale ottengo:

${\displaystyle g(\theta )=0\quad \forall \theta \in (0,+\infty )}$ 

Perciò ${\displaystyle g(X)=0}$  quasi certamente

Data una statistica ${\displaystyle T({\underline {X}})}$  ed una biezione ${\displaystyle \phi }$  indipendente da ${\displaystyle \theta }$  allora ${\displaystyle \phi \circ T({\underline {X}})}$  è anch'essa una statistica completa per ${\displaystyle \theta }$ 

Date variabili aleatorie ${\displaystyle X_{1},...X_{n}}$  indipendenti ed identicamente distribuite, diremo che definita ${\displaystyle f(x,\theta )}$  la funzione di densità, essa apparterrà alla famiglia esponenziale con parametro ${\displaystyle \theta \in H}$  se può essere scritta in questo modo:

${\displaystyle f(x,\theta )=C(\theta )e^{Q(\theta )T(x)}h(x)}$ 

Con ${\displaystyle C(\theta )>0\quad h(x)>0\quad }$  e con supporto indipendente da ${\displaystyle \theta }$ 

Se vale tale proprietà allora:

${\displaystyle T(X)}$  e ${\displaystyle \quad \sum _{i=1}^{n}T(X_{i})}$  sono variabili aleatorie complete se ${\displaystyle H}$  contiene un intervallo non degenere

Dato un campione aleatorio ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$  indipendente ed identicamente distribuito ed un parametro ${\displaystyle \theta \in H\subset R}$ 

Data una statistica ${\displaystyle T(X)}$  che è sufficiente e completa per ${\displaystyle \theta \quad }$  e dato uno stimatore del parametro ${\displaystyle \theta \qquad }$ :

${\displaystyle V(T(x))}$  che è non distorto ${\displaystyle \forall \theta \in H\quad }$ 

Allora ${\displaystyle V(T(X))}$  è l'unico stimatore non distorto a minima varianza di ${\displaystyle \theta }$ 

• Capasso Morale, Una guida allo studio della probabilità e della statistica matematica II, ed. 2013 p. 340-347 ISBN 978-88-7488-628-9

• Bias (statistica)
• Consistenza (statistica)
• Efficienza (statistica)
• Sufficienza (statistica)
• Stimatore
• Teorema di Rao-Blackwell

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica